Periodo minimo di curve piane

[milkina]

Ringrazio già in anticipo chi risponderà al mio quesito..
ho difficoltà a capire un metodo generale per determinare il periodo di di curve piane in genere.
ognuno mi propone un metodo diverso che sembra non produrre gli stessi risultati.
ad esempio con r=cos(x/3) parametrizzando in coordinate polari ottengo cos(x/3)[cosx,senx]
cosx e senx hanno periodo 2pigreco
cosx/3 quindi 6pigreco.
ma perchè in totale è 3pigreco?
qui il metodo dell mcm non vale vero?
graficamente in 3pigreco entrambe le curve sono negative e valgono lo stesso valore, è quindi perchè entrambe negative il loro prodotto è positivo ed è come se tornassero al " punto di partenza"?

[piero_1]

"milkina": ... un metodo generale per determinare il periodo di di curve piane in genere.
ognuno mi propone un metodo diverso che sembra non produrre gli stessi risultati.
...

In realtà credo che un metodo "unico e generale" non ci sia.
Però, possiamo dire che:

Se una funzione $f(x)$ è periodica di periodo $T$, allora la funzione $f(kx)$ , con $kinRR$ diverso da zero, è periodica di periodo $T/|k|$.

Se due funzioni periodiche hanno stesso periodo T, allora le funzioni somma, prodotto, quoziente, hanno periodo minore o uguale al periodo comune T.

Se due funzioni periodiche con $T1=! T2$, e se esistono multipli interi comuni dei due periodi, allora le funzioni somma, prodotto, quoziente, hanno periodo uguale al minimo comune multiplo dei periodi.

[milkina]

"piero_":

Se due funzioni periodiche con $T1=! T2$, e se esistono multipli interi comuni dei due periodi, allora le funzioni somma, prodotto, quoziente, hanno periodo uguale al minimo comune multiplo dei periodi.

...ma allora stando a quel che dici la mia curva cos3x(cosx) dovrebbe avere periodo minimo mcm(2,6) quindi non 3pigreco come invece risulta al mio professore e graficamente e intuitivamente anche a me..

[killing_buddha]

Questo esempio e molti altri analoghi mostrano che il periodo del prodotto di due funzione periodiche può non essere uguale al mcm dei due periodi (mantenendosi nel caso di rapporti di "dilatazione" razionali).

Non dovrebbe essere difficile però convincersi, graficamente o con dei conti, che il periodo della funzione $cos (a x) + cos(b x)$ è $\frac{2\pi}{mcd(a,b)}$, e che il periodo della funzione $\cos\frac{x}{a} +\cos\frac{x}{b}$ è $2 \pi mcm(a,c)$.

Detto questo nel caso di una funzione del tipo $(\cos (ax)\cos (x), \cos (bx) \sin(x))$, le formule di Werner porgono

$\cos (ax)\cos (x) = \frac{1}{2}(\cos((a-b)x) + \cos((a+b)x))$
$\cos (bx) \sin(x) = \frac{1}{2}(\sin((a+b)x)-\sin((a-b)x))$

a questo punto è facile valutare quale sia il periodo della funzione parametrizzata così.
Non ho fatto il conto, dovrebbe funzionare...

[milkina]

"killing_buddha":

Detto questo nel caso di una funzione del tipo $(\cos (ax)\cos (x), \cos (bx) \sin(x))$, le formule di Werner porgono

$\cos (ax)\cos (x) = \frac{1}{2}(\cos((a-b)x) + \cos((a+b)x))$
$\cos (bx) \sin(x) = \frac{1}{2}(\sin((a+b)x)-\sin((a-b)x))$

a questo punto è facile valutare quale sia il periodo della funzione parametrizzata così.
Non ho fatto il conto, dovrebbe funzionare...

[piero_1]

"milkina":[quote="piero_"]

Se due funzioni periodiche con $T1=! T2$, e se esistono multipli interi comuni dei due periodi, allora le funzioni somma, prodotto, quoziente, hanno periodo uguale al minimo comune multiplo dei periodi.

...ma allora stando a quel che dici la mia curva cos3x(cosx) dovrebbe avere periodo minimo mcm(2,6) quindi non 3pigreco come invece risulta al mio professore e graficamente e intuitivamente anche a me..[/quote]

Infatti quella schifezza che ho scritto sopra ($T1=! T2$) è in realtà T1!=T2 che significa $T1!=T2$.
mi fustigo per l'errore di digitazione.

EDIT:
Se una funzione $f(x)$ è periodica di periodo $T$, allora la funzione $f(kx)$ , con $kinRR$ diverso da zero, è periodica di periodo $T/|k|$.
Se due funzioni periodiche hanno stesso periodo T, allora le funzioni somma, prodotto, quoziente, hanno periodo minore o uguale al periodo comune T.

Se abbiamo due funzioni periodiche con $T1!=T2$, e se esistono multipli interi comuni dei due periodi, allora le funzioni somma, prodotto, quoziente, hanno periodo uguale al minimo comune multiplo dei periodi.

[piero_1]

"milkina":
la mia curva cos3x(cosx) dovrebbe avere periodo minimo mcm(2,6) quindi non 3pigreco come invece risulta al mio professore e graficamente e intuitivamente anche a me..

Facciamo un po' d'ordine.

- se la tua curva è $cos3x*cosx$ , come scrivi qui sopra, il periodo è $pi$

- se invece la tua curva è $cos(x/3)*cosx$ , il periodo è $3pi$

...naturalmente non ho utilizzato le regolette "non generali" che ho scritto (trovate per altro su un libro e mai usate) , ma un più prosaico ed efficace metodo grafico.

p.s.
prova anche qui:
http://www.batmath.it/matematica/fondam ... odiche.htm
e qui, in particolare la IV e la V
http://www.batmath.it/rete/periodo/periodo.htm

ciao

[piero_1]

proviamo con un grafico, tra l'altro è il primo che faccio; speriamo bene.

la funzione è $ f(x)=cos(x/3)*cos(x)$ i pallini blu sono il periodo, ogni tacca del grafico rappresenta una unità

[asvg]xmin=-10;xmax=10;
axes();
stroke="red";
plot("cos(x/3)*cos(x)");
stroke="blue";
var trepigreco=[9.424777960,0];
dot(trepigreco);
text([9.5,-1.5],"3 PI",above);
dot([0,0]);
dot([-9.424777960,0]);[/asvg]

[milkina]

ok ho capito tutto!
grazie mille!