Per quali valori la somma è diretta
In $R^4$ considero i sottospazi
$W = (0,1,0,0),(0,0,1,-1)$
$U = (0,1,1,-1),(t,-1,-1,1),(0,1,0,t)$
SI determinino i valori di t per i quali la somma è diretta.
Allora affinche la somma sia diretta $U$$nn$$W$$={0}$
Io procedo in questo modo. Trovo le equazioni sia U che di W e le interseco, cioè le pongo a sistema. esempio
$((x,y,z,t),(0,1,0,0),(0,0,1,-1))$
trovo il minore fondamentale ed avrò
$((x,y,z),(0,1,0),(0,0,1))= x = 0 $
$((y,z,t),(1,0,0),(0,1,-1)) = +z + t = 0$
della seconda base avrò
$((x, y, z, t),(0, 1, 1,-1),(t,-1,-1,1),(0,1,0,t))$
calcolo il minore fondamentale e trovo le equazioni. Al posto di t metto k altrimenti mi confondo
$((x, y, z),(k, -1,-1),(0,1,0))= x + kz = 0
$((y, z, t),(-1,-1,1),(1,0,k))= -ky - z(-k-1) + t= 0
è giusto fin quiì??? grazie
$W = (0,1,0,0),(0,0,1,-1)$
$U = (0,1,1,-1),(t,-1,-1,1),(0,1,0,t)$
SI determinino i valori di t per i quali la somma è diretta.
Allora affinche la somma sia diretta $U$$nn$$W$$={0}$
Io procedo in questo modo. Trovo le equazioni sia U che di W e le interseco, cioè le pongo a sistema. esempio
$((x,y,z,t),(0,1,0,0),(0,0,1,-1))$
trovo il minore fondamentale ed avrò
$((x,y,z),(0,1,0),(0,0,1))= x = 0 $
$((y,z,t),(1,0,0),(0,1,-1)) = +z + t = 0$
della seconda base avrò
$((x, y, z, t),(0, 1, 1,-1),(t,-1,-1,1),(0,1,0,t))$
calcolo il minore fondamentale e trovo le equazioni. Al posto di t metto k altrimenti mi confondo
$((x, y, z),(k, -1,-1),(0,1,0))= x + kz = 0
$((y, z, t),(-1,-1,1),(1,0,k))= -ky - z(-k-1) + t= 0
è giusto fin quiì??? grazie
Risposte
non ho controllato i calcoli... ma mi sembra corretto.
Però basta osservare che $UoplusW=RR^4hArrdim(U)=dim(W)=2$
pertanto basta imporre che $U$ abbia dimensione $2$, imponendo quindi che il rango della matrice contenente si suoi generatori sia $2$
Però basta osservare che $UoplusW=RR^4hArrdim(U)=dim(W)=2$
pertanto basta imporre che $U$ abbia dimensione $2$, imponendo quindi che il rango della matrice contenente si suoi generatori sia $2$
ma $UoplusW$ deve essere sempre uguale allo spazio? cioè per defizione $UoplusW=V$ oppure è una cosa che può accadere?
scusami avevo letto male la traccia e credevo che dovesse essere somma diretta di $RR^4$
Il tuo procedimento è corretto... basta provare che la dimensione dell'intersezione è $0$...
Il tuo procedimento è corretto... basta provare che la dimensione dell'intersezione è $0$...
Questo lo so. il problema è che mi sn fermata a quel punto!
Allora forse ho capito ma non ne sono sicura.
metto a sistema le quattro equazioni e mi viene h=0!
metto a sistema le quattro equazioni e mi viene h=0!
Non vorrei dire una cavolata, però scusate...ma il vettore $(0,1,1,-1)$ non sta sempre in $W\cap U$?
Sta in $U$ perchè $(0,1,1,-1)=(0,1,0,0)+(0,0,1,-1)$ e sta ovviamente in $W$.
Allora per nessun valore di $t$ vale $U\oplus W$!
Sbaglio?
Sta in $U$ perchè $(0,1,1,-1)=(0,1,0,0)+(0,0,1,-1)$ e sta ovviamente in $W$.
Allora per nessun valore di $t$ vale $U\oplus W$!
Sbaglio?
no cirasa hai detto bene (sembra strano che sia io a confermare!).
Ho poi svolto correttamente l'esercizio pensandoci un pò meglio- devo smetterla di farlo la sera quando sono stanco.
Tra l'altro si può osservare che essendo lo spazio somma un sottospazio di $RR^4$ esso può avere al massimo dimensione $4$
Ho poi svolto correttamente l'esercizio pensandoci un pò meglio- devo smetterla di farlo la sera quando sono stanco.
Tra l'altro si può osservare che essendo lo spazio somma un sottospazio di $RR^4$ esso può avere al massimo dimensione $4$
[mod="Fioravante Patrone"]Mi scuso con tutti coloro che hanno perso tempo a rispondere a chi non lo merita.[/mod]
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