Passaggio coordinate non omogenee

[stenford]

Per far capire cosa non ho capito presento un esercizio:

In $P_5$ dato $ Lambda_1 $ generato da $ <(1:2:0:1:1:2),(1:0:1:1:2:1),(0:2:1:2:1:1)> $ e
$ Lambda_2 $ $ x_2-x_4-x_6=x_1-x_3=0 $
I punti generatori di $ Lambda_2 $ sono quindi: $ <(1:0:1:0:0:0),(0:1:0:1:0:0),(0:1:0:0:0:1),(0:0:0:0:1:0)> $

Detto $ Pi : x_1-x_5=0 $ l'iperpiano e considerate le tracce affini $ L_i=Lambda_i \\ Pi $ in $ A^5 =P^5 \\Pi $
so che esse saranno parallele in quanto :
$ Lambda_1nn Lambda_2=(0:2:0:1:0:1) in Pi $ ovvero il punto di intersezione è una direzione.

Il mio problema sta nel trovare effettivamente le tracce affini considerando iperpiani diversi dal solito $ x_1 =1 $ presentato nei vari libri e dispense che ho consultato.

Per esempio in questo caso l'iperpiano è $ x_1=x_5 $ ovvero le coordinate omogenee :
$ (x_1:x_2:x_3:x_4:x_1:x_6) $

In questo caso come mi riconduco a coordinate non omogenee??

[stenford]

Qualcuno ha qualche dritta?
In generale mi serve capire come svolgere effettivamente il passaggio dal proiettivo all'affine utilizzando un generico iperpiano e non il canonico $x_1=1$
Perchè per esempio nel caso $x_1=x_5$ avendo la generica coordinata omogenea : $(x_1:x_2:x_3:x_4:x_1:x_6)$ usando il ragionamento:
$x_1!=0$ poi divido per $x_1$ ottengo $(1:x_2/x_1:x_3/x_1:x_4/x_1:1:x_6/x_1)$ però così mi riconduco a $A^4$ quindi non capisco dove sbaglio ...