Parametrizzazione quartica
Considero la quartica di equazione $X_0^2X_2^2-X_0X_1^2X_2-X_2^4=0$ nel piano proiettivo.
Voglio sapere se questa quadrica si può parametrizzare attraverso un fascio di coniche.
Considerando che l'intersezione tra una quartica (grado 4) e una conica (grado 2) consiste in 8 punti (non necessariamente distinti), il fatto che la quartica si possa parametrizzare equivale ad affermare che 7 di questi punti sono fissi (non dipendono dalla conica del fascio) mentre 1 dipende dalla conica determinata dal parametro.
Questa quartica ha due punti singolari: $P_1=(1,0,0)$ punto doppio con complesso tangente $X_1^2=0$ e $(0,1,0)$ punto triplo con complesso tangente $X_0(X_0-X_2)=0$.
Se considero il fascio di coniche bitangente nei due punti singolari a rette tangenti del complesso tangente ottengo che le intersezioni con la quartica sono almeno 4 per $P_1$ e almeno 3 per $P_2$, dunque il punto di intersezione rimanente è quello che utilizzo per la parametrizzazione.
Ma come si fa a capire che le intersezioni sono 4 in $P_1$ e 3 in $P_2$?
Voglio sapere se questa quadrica si può parametrizzare attraverso un fascio di coniche.
Considerando che l'intersezione tra una quartica (grado 4) e una conica (grado 2) consiste in 8 punti (non necessariamente distinti), il fatto che la quartica si possa parametrizzare equivale ad affermare che 7 di questi punti sono fissi (non dipendono dalla conica del fascio) mentre 1 dipende dalla conica determinata dal parametro.
Questa quartica ha due punti singolari: $P_1=(1,0,0)$ punto doppio con complesso tangente $X_1^2=0$ e $(0,1,0)$ punto triplo con complesso tangente $X_0(X_0-X_2)=0$.
Se considero il fascio di coniche bitangente nei due punti singolari a rette tangenti del complesso tangente ottengo che le intersezioni con la quartica sono almeno 4 per $P_1$ e almeno 3 per $P_2$, dunque il punto di intersezione rimanente è quello che utilizzo per la parametrizzazione.
Ma come si fa a capire che le intersezioni sono 4 in $P_1$ e 3 in $P_2$?
Risposte
C'è un refuso nell'equazione della quartica.Da quello che scrivi dovrebbe essere:
\(\displaystyle X_o^2X_1^2-X_oX_1^2X_2-X_2^4=0\)
Anche per i punti multipli c'è da fare qualche correzione.Precisamente i punti multipli sono:
A) \(\displaystyle P_1(1,0,0 )\), punto doppio con tangenti sovrapposte di equazione \(\displaystyle X_1=0\)
Poiché la relativa tangente ha con la quartica un contatto quadripunto, questo punto è un tacnodo ed equivale a due punti doppi.
B)\(\displaystyle P_2(0,1,0) \) ,punto doppio con tangenti \(\displaystyle X_2=0,X_0-X_2=0\)
In totale abbiamo 3 punti doppi e pertanto la quartica è razionale . Un modo semplice per parametrizzarla è il seguente.
Scegliamo come fascio di coniche ( dette talvolta anche "curve aggiunte") con cui intersecare la quartica quelle di equazione :
\(\displaystyle X_0X_1=tX_2^2 \) che passano per P1 e P2 ed hano per tangente rispettivamente le rette \(\displaystyle X_1=0\) ,\(\displaystyle X_0=0 \)
Passando a coordinate affini (X,Y) abbiamo da risolvere il sistema:
\(\displaystyle \begin{cases} X=tY^2\\ X^2-X^2Y-Y^4=0 \end{cases}\)
che porta alle formule:
\(\displaystyle \begin{cases} X= \frac{(t^2-1)^2}{t^3}\\ Y=\frac{t^2-1}{t^2} \end{cases}\)
e queste sono le equazioni parametriche della quartica in coordinate affini.
Nel piano proiettivo si può porre \(\displaystyle t=\frac{u}{v}\) con il che si ottengono le equazioni della quartica nel proiettivo :
\(\displaystyle \begin{cases} X_o =u^3v\\X_1=(u^2-v^2)^2\\X_2=uv(u^2-v^2 )\end{cases}\)
\(\displaystyle X_o^2X_1^2-X_oX_1^2X_2-X_2^4=0\)
Anche per i punti multipli c'è da fare qualche correzione.Precisamente i punti multipli sono:
A) \(\displaystyle P_1(1,0,0 )\), punto doppio con tangenti sovrapposte di equazione \(\displaystyle X_1=0\)
Poiché la relativa tangente ha con la quartica un contatto quadripunto, questo punto è un tacnodo ed equivale a due punti doppi.
B)\(\displaystyle P_2(0,1,0) \) ,punto doppio con tangenti \(\displaystyle X_2=0,X_0-X_2=0\)
In totale abbiamo 3 punti doppi e pertanto la quartica è razionale . Un modo semplice per parametrizzarla è il seguente.
Scegliamo come fascio di coniche ( dette talvolta anche "curve aggiunte") con cui intersecare la quartica quelle di equazione :
\(\displaystyle X_0X_1=tX_2^2 \) che passano per P1 e P2 ed hano per tangente rispettivamente le rette \(\displaystyle X_1=0\) ,\(\displaystyle X_0=0 \)
Passando a coordinate affini (X,Y) abbiamo da risolvere il sistema:
\(\displaystyle \begin{cases} X=tY^2\\ X^2-X^2Y-Y^4=0 \end{cases}\)
che porta alle formule:
\(\displaystyle \begin{cases} X= \frac{(t^2-1)^2}{t^3}\\ Y=\frac{t^2-1}{t^2} \end{cases}\)
e queste sono le equazioni parametriche della quartica in coordinate affini.
Nel piano proiettivo si può porre \(\displaystyle t=\frac{u}{v}\) con il che si ottengono le equazioni della quartica nel proiettivo :
\(\displaystyle \begin{cases} X_o =u^3v\\X_1=(u^2-v^2)^2\\X_2=uv(u^2-v^2 )\end{cases}\)
Come fai a sapere che la tangente a $P_1$ ha con la quartica un contatto quadripunto?
Il contatto è quadripunto perché se intersechi la quartica con la tangente \(\displaystyle X_1=0 \) salta fuori l'equazione
\(\displaystyle -X^4_2=0 \) che ti restituisce la soluzione \(\displaystyle X_2=0 \) contata quatto volte ( o come si dice meglio, ,di molteplicità 4). In questi casi si parla di "tacnodo".Se invece la soluzione si ferma alla molteplicità 3 ( ma sempre con un'unica tangente) allora si parla di "cuspide".
\(\displaystyle -X^4_2=0 \) che ti restituisce la soluzione \(\displaystyle X_2=0 \) contata quatto volte ( o come si dice meglio, ,di molteplicità 4). In questi casi si parla di "tacnodo".Se invece la soluzione si ferma alla molteplicità 3 ( ma sempre con un'unica tangente) allora si parla di "cuspide".
Dunque la molteplicità d'intersezione della tangente $X_1=0$ con la quadrica nel punto $P_1$ è 4 mentre la molteplicità d'intersezione della tangente $X_1=0$ con la quadrica nel punto $P_2$ quant'è? Mi verrebbe da dire sempre 4...La molteplicità d'intersezione della tangente $X_0-X_2=0$ con la quadrica nel punto $P_2$ è sempre 4...
Ma guarda che in P2 le tangenti sono distinte e quindi ne viene un punto doppio ordinario !
Ok ma il problema iniziale era come capire che se considero il fascio di coniche bitangente nei due punti singolari a rette tangenti del complesso tangente ottengo che le intersezioni con la quartica sono almeno 4 per $P_1$ e almeno 3 per $P_2$...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo