Parametri direttori e eq. parametriche
Salve, da un po' leggevo su questo sito che mi ha dato vari aiuti in materia. Ho qualche dubbio su un calcolo delle eq. cartesiane e dei parametri direttori..
Ho delle rette
r: x+1 = y+z = 0
s: x+4 = 2x-y+z = 0
Ho letto che per trovare i parametri direttori posso utilizzare una matrice di questo tipo. Nel caso di r:
$ | ( i , j , k ),( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 1 ) | $
Per cui alla fine mi esce che
r: (l,m,n) \( \sim \) (0,-1,-1)
Per s invece:
$ | ( i , j , k ),( 1 , 0 , 0 ),( 2 , -1 , 1 ) | $
s: (l',m',n') \( \sim \) (0,-1,1)
Tuttavia, trasformando le coordinate cartesiane in parametriche, mi esce:
\( r:\begin{cases} x=-1 \\ y=t \\ z=-t \end{cases} \)
Per cui r: (l,m,n) \( \sim \) (0,1,-1)
\( s:\begin{cases} x=-4 \\ y=t-8 \\ z=t \end{cases} \)
Per cui s: (l',m',n') \( \sim \) (0,1,1)
Ovviamente i parametri direttori nei due casi escono diversi.. cosa sto sbagliando?
Ho delle rette
r: x+1 = y+z = 0
s: x+4 = 2x-y+z = 0
Ho letto che per trovare i parametri direttori posso utilizzare una matrice di questo tipo. Nel caso di r:
$ | ( i , j , k ),( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 1 ) | $
Per cui alla fine mi esce che
r: (l,m,n) \( \sim \) (0,-1,-1)
Per s invece:
$ | ( i , j , k ),( 1 , 0 , 0 ),( 2 , -1 , 1 ) | $
s: (l',m',n') \( \sim \) (0,-1,1)
Tuttavia, trasformando le coordinate cartesiane in parametriche, mi esce:
\( r:\begin{cases} x=-1 \\ y=t \\ z=-t \end{cases} \)
Per cui r: (l,m,n) \( \sim \) (0,1,-1)
\( s:\begin{cases} x=-4 \\ y=t-8 \\ z=t \end{cases} \)
Per cui s: (l',m',n') \( \sim \) (0,1,1)
Ovviamente i parametri direttori nei due casi escono diversi.. cosa sto sbagliando?
Risposte
Da quello che vedo va tutto bene; ricordati che né l'equazione cartesiana né quella parametrica di una retta sono uniche; per quella cartesiana puoi scegliere due piani qualunque dal fascio che ha per asse quella retta, mentre per quella cartesiana puoi scegliere infinite direzioni a cui la retta è parallela (ad esempio $\lambda(0,1,-1)$ al variare del $\lambda\in\mathbb{R}$ è sempre una direzione parallela alla prima delle due rette che hai assegnato). Poi un altro grado di libertà è dato dal fatto che puoi scegliere un punto qualsiasi per cui passa la retta!
"iTz_Ovah":
Da quello che vedo va tutto bene; ricordati che né l'equazione cartesiana né quella parametrica di una retta sono uniche; per quella cartesiana puoi scegliere due piani qualunque dal fascio che ha per asse quella retta, mentre per quella cartesiana puoi scegliere infinite direzioni a cui la retta è parallela (ad esempio $\lambda(0,1,-1)$ al variare del $\lambda\in\mathbb{R}$ è sempre una direzione parallela alla prima delle due rette che hai assegnato). Poi un altro grado di libertà è dato dal fatto che puoi scegliere un punto qualsiasi per cui passa la retta!
Salve, grazie per la conferma. Quindi basta che i parametri direttori siano proporzionali com lambda anche negativo, giusto?
Il segno di $\lambda$ è ininfluente, può all'evenienza anche essere negativo.
"iTz_Ovah":
Il segno di $\lambda$ è ininfluente, può all'evenienza anche essere negativo.
Perfetto, grazie mille.
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