Paradosso all'indipendenza lineari e sulle basi
Come detto in varie circostanze, la base del sottospazio banale ha dimensione 0, e pertanto rappresenta l'insieme nullo. Tuttavia da questa osservazione nasce un paradosso... se l'insieme vuoto è una base per quel sottospazio, dovrei dire che esso è linearmente indipendente, ma come faccio ad affermare ciò se genera solo ed esclusivamente il vettore nullo?
Intuitivamente secondo me la risposta è la seguente... la definizione classica di indipendenza lineare è valida per tutti gli insiemi di vettori, tranne quello vuoto.
EDIT: la base del sottospazio banale ha cardinalità 0, non dimensione 0... 0 è la dimensione di tale sottospazio.
Intuitivamente secondo me la risposta è la seguente... la definizione classica di indipendenza lineare è valida per tutti gli insiemi di vettori, tranne quello vuoto.
EDIT: la base del sottospazio banale ha cardinalità 0, non dimensione 0... 0 è la dimensione di tale sottospazio.
Risposte
...oppure viene introdotto nella definizione stessa.
L'elemento neutro alla somma viene sempre introdotto nella definizione.
L'elemento neutro alla somma viene sempre introdotto nella definizione.
"Bokonon":
...oppure viene introdotto nella definizione stessa.
L'elemento neutro alla somma viene sempre introdotto nella definizione.
Ovvero? Approfondisci.
Basta leggere la definizione di spazio vettoriale.
https://it.wikipedia.org/wiki/Spazio_ve ... efinizione
Deve esistere un elemento neutro per assioma.
https://it.wikipedia.org/wiki/Spazio_ve ... efinizione
Deve esistere un elemento neutro per assioma.
"Bokonon":
Basta leggere la definizione di spazio vettoriale.
https://it.wikipedia.org/wiki/Spazio_ve ... efinizione
Deve esistere un elemento neutro per assioma.
Forse sono un po' duro di comprendonio, ma questa osservazione non risolve il quesito... andiamo al sodo: l'insieme vuoto può essere o no definito "linearmente indipendente" ?
"Daken97":
[…] la base del sottospazio banale ha dimensione 0, e pertanto rappresenta l'insieme nullo. Tuttavia da questa osservazione nasce un paradosso... se l'insieme vuoto […]
Una base non ha dimensione, mentre uno spazio vettoriale sì; quindi l'insieme nullo $V={bar0}$ ha dimensione $0$ perché non ammette una base (essendo il vettore nullo l.d.).
"Magma":
[quote="Daken97"][…] la base del sottospazio banale ha dimensione 0, e pertanto rappresenta l'insieme nullo. Tuttavia da questa osservazione nasce un paradosso... se l'insieme vuoto […]
Una base non ha dimensione, mentre uno spazio vettoriale sì; quindi l'insieme nullo $V={bar0}$ ha dimensione $0$ perché non ammette una base (essendo il vettore nullo l.d.).[/quote]
Volevo dire cardinalità, non dimensione... ma a parte questa precisazione, qual'è la risposta al quesito? In soldoni, l'insieme vuoto è o no linearmente indipendente?
Un insieme non può essere l.i. o meno, mentre i vettori contenuti in un insieme possono essere l.i. o meno; l'insieme vuoto contiene qualche vettore? 
"Magma":
Un insieme non può essere l.i. o meno, mentre i vettori contenuti in un insieme possono essere l.i. o meno; l'insieme vuoto contiene qualche vettore?
Ok, allora ti rigiro la domanda (altrimenti non ci sarebbe alcun paradosso
) : posso affermare che la base del sottpspazio banale è l'insieme vuoto? Se sì, dovrei anche affermare che lo Span dell'insieme vuoto è il sottospazio banale, o no? 
"Daken97":
posso affermare che la base del sottpspazio banale è l'insieme vuoto?
No!
"Magma":
[quote="Daken97"]
posso affermare che la base del sottpspazio banale è l'insieme vuoto?
No!
[/quote]Allora argomenta....
Con cosa? L'insieme $V={bar0}$ contiene un solo elemento, per l'appunto il vettore nullo $bar0$, che è sempre linearmente dipendente; per cui $V$ non ha base. Dire che la base di $V$ sia l'insieme vuoto lo trovo errato in quanto esso non contiene vettori che possano essere generatori né tantomeno l.i. al fine di soddisfare la definizione di base; poi se sia diversamente attendo correzioni.
Comunque la precedente affermazione l'ho letta su testi scritti da docenti, e d'altronde una base è pur sempre un insieme... a me risulta che l'unico insieme con cardinalità zero sia proprio quello vuoto, il problema è che da questa affermazione (dettata anche da fior di docenti) segue un grosso paradosso.
"Daken97":
[…] d'altronde una base è pur sempre un insieme...
E chi avrebbe detto il contrario?
"Magma":
[quote="Daken97"][…] d'altronde una base è pur sempre un insieme...
E chi avrebbe detto il contrario?
[/quote]Benissimo... qual è l'unico insieme di cardinalità zero?
... è come se chiedessi di scrivere l'insieme dei numeri divisibili per zero.
"arnett":
Come ho detto la dimensione di ${0}$ è zero per convenzione, non perché abbia una base di cardinalità nulla.
Non so che dire, fior di docenti sostengono che la base del sottospazio banale sia proprio l'insieme vuoto... d'altronde è come se chiedessi di scrivere l'insieme dei numeri divisibili per zero, perciò è un'affermazione sensata, almeno dal punto di vista intuitivo.
"Daken97":
Forse sono un po' duro di comprendonio, ma questa osservazione non risolve il quesito... andiamo al sodo: l'insieme vuoto può essere o no definito "linearmente indipendente" ?
E' un elemento/punto definito a priori per poter definire cos'è uno spazio vettoriale.
Ogni spazio vettoriale deve contenerlo per definirsi tale...eppure mica lo inserisci nella base di quel dato spazio vettoriale no?
Perchè non è una base, ne fa parte di una base, è un elemento. Chi lo genera? Nessuno. Serve appunto per definire il concetto di -v. $v+0=v rArr v-v=0$
"Bokonon":
[quote="Daken97"]
Forse sono un po' duro di comprendonio, ma questa osservazione non risolve il quesito... andiamo al sodo: l'insieme vuoto può essere o no definito "linearmente indipendente" ?
E' un elemento/punto definito a priori per poter definire cos'è uno spazio vettoriale.
Ogni spazio vettoriale deve contenerlo per definirsi tale...eppure mica lo inserisci nella base di quel dato spazio vettoriale no?
Perchè non è una base, ne fa parte di una base, è un elemento. Chi lo genera? Nessuno. Serve appunto per definire il concetto di -v. $v+0=v rArr v-v=0$[/quote]
Occhio però a non confondere l'insieme vuoto con il vettore nullo... mi sa tanto che l'unico in grado di trovare una risposta sia Antoo, ovvero il mio santo protettore della matematica.
"Daken97":
Occhio però a non confondere l'insieme vuoto con il vettore nullo... mi sa tanto che l'unico in grado di trovare una risposta sia Antoo, ovvero il mio santo protettore della matematica.
L'insieme vuoto in uno spazio vettoriale contiene appunto un solo elemento, ovvero il vettore nullo. E' la sua definizione.
Alla fine mi pare che tutti concordino con te solo sul fatto che sei duro di comprendonio
"Bokonon":
L'insieme vuoto in uno spazio vettoriale contiene appunto un solo elemento, ovvero il vettore nullo.
Questo è falso. L'insieme vuoto non contiene nessun elemento, nemmeno il vettore nullo; altrimenti (se lo contenesse) non sarebbe più vuoto :-D (ed entrerebbe in crisi d'identità esistenziali
)
"arnett":
[quote="Daken97"]
Non so che dire, fior di docenti sostengono che la base del sottospazio banale sia proprio l'insieme vuoto... d'altronde è come se chiedessi di scrivere l'insieme dei numeri divisibili per zero, perciò è un'affermazione sensata, almeno dal punto di vista intuitivo.
Sbagliano. Consulta Sernesi o qualsiasi altra cosa fidata.
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Poi cos'è che distingue un docente da un fior di docente? Siamo tutti umani e tutti sbagliamo.[/quote]
"Fior di docenti", nel senso di "tanti docenti".
Bokonon scusa, un insieme vuoto come fa contenere lo zero, che è pur sempre un elemento? A volte mi sembra che tu abbia problemi di conoscenza sulle definizioni, visto che peraltro sostenevi che soltanto le basi fossero sistemi di generatori (quando in realtà la definizione ufficiale diceva altro). Sarò pure duro di comprendonio, però so distinguere il sottospazio banale dall'insieme vuoto.
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