Paradosso all'indipendenza lineari e sulle basi

[Daken97]

Come detto in varie circostanze, la base del sottospazio banale ha dimensione 0, e pertanto rappresenta l'insieme nullo. Tuttavia da questa osservazione nasce un paradosso... se l'insieme vuoto è una base per quel sottospazio, dovrei dire che esso è linearmente indipendente, ma come faccio ad affermare ciò se genera solo ed esclusivamente il vettore nullo?



Intuitivamente secondo me la risposta è la seguente... la definizione classica di indipendenza lineare è valida per tutti gli insiemi di vettori, tranne quello vuoto.



EDIT: la base del sottospazio banale ha cardinalità 0, non dimensione 0... 0 è la dimensione di tale sottospazio.

[Bokonon]

"Magma":
Questo è falso. L'insieme vuoto non contiene nessun elemento, nemmeno il vettore nullo; altrimenti (se lo contenesse) non sarebbe più vuoto :-D (ed entrerebbe in crisi d'identità esistenziali )

Lo so, ma visto che non parliamo di insiemistica l'analogia ci sta tutta.
Se uno deve proprio venire incontro a Draken, allora l'equivalente insiemistico dell'insieme vuoto in uno spazio vettoriale è appunto un insieme composto dal solo elemento nullo.
Gli spazi vettoriali, per necessità, devono essere "collegati: tutti contengono il vettore nullo.
Se sono indipendenti allora condividono appunto solo il vettore nullo...che è l'analogo di intersezione nulla nell'insiemistica.

[Daken97]

"arnett":Sì però @Daken97
1. 'qual è' non vuole l'apostrofo
2. 'conoscenza' non vuole la i
3. 'fior di' vuol dire 'i migliori', non molti

Dopo questi doverosi off-topic linguistici ti rispondo che a me nessun docente ha mai detto una cosa simile. Poi se tu vuoi credere che esista un paradosso fai pure. Tutto deriva dal fatto che non usi definizioni corrette.

Sto impazzendo al punto di commettere (a me insoliti) strafalcioni ortografici.


Scherzi a parte, secondo me è inutile continuare a discutere qui, perché pur ragionando in maniera corretta, partiamo proprio da presupposti diversi. Vediamo quali riscontri riuscirò a trovare a breve termine... in ogni caso, almeno sulla definizione di "insieme vuoto" credo di avere ragione.

[Bokonon]

"Daken97":
Bokonon scusa, un insieme vuoto come fa contenere lo zero, che è pur sempre un elemento? A volte mi sembra che tu abbia problemi di conoscenza sulle definizioni, visto che peraltro sostenevi che soltanto le basi fossero sistemi di generatori (quando in realtà la definizione ufficiale diceva altro). Sarò pure duro di comprendonio, però so distinguere il sottospazio banale dall'insieme vuoto.

A me pare che per uno a cui piace mettere in dubbio le definizioni stesse tu non restituisca al prossimo la stessa flessibilità.
Prova a rileggere quanto ho scritto così:

"Bokonon":
L'analogo di insieme vuoto in uno spazio vettoriale contiene appunto un solo elemento, ovvero il vettore nullo. E' la sua definizione.

Il senso era evidente e comunque arrivano (giustamente) sempre i "puristi".
Io discuto di matematica anche per analogia e in modo discorsivo e continuerò a farlo...e se la mia colpa è stata perdere tempo a risponderti per sentirmi pure attaccato l'accetto. Adios

[Daken97]

"Bokonon":[quote="Daken97"]
Bokonon scusa, un insieme vuoto come fa contenere lo zero, che è pur sempre un elemento? A volte mi sembra che tu abbia problemi di conoscenza sulle definizioni, visto che peraltro sostenevi che soltanto le basi fossero sistemi di generatori (quando in realtà la definizione ufficiale diceva altro). Sarò pure duro di comprendonio, però so distinguere il sottospazio banale dall'insieme vuoto.

A me pare che per uno a cui piace mettere in dubbio le definizioni stesse tu non restituisca al prossimo la stessa flessibilità.
Prova a rileggere quanto ho scritto così:

"Bokonon":
L'analogo di insieme vuoto in uno spazio vettoriale contiene appunto un solo elemento, ovvero il vettore nullo. E' la sua definizione.

Il senso era evidente e comunque arrivano (giustamente) sempre i "puristi".
Io discuto di matematica anche per analogia e in modo discorsivo e continuerò a farlo...e se la mia colpa è stata perdere tempo a risponderti per sentirmi pure attaccato l'accetto. Adios[/quote]


Non si tratta di essere puristi, ma semplicemente di dare definizioni formalmente corrette. Detto questo, non ho assolutamente messo in dubbio la bontà delle tue intenzione, e se ti basta così poco per sentirti "attaccato", non posso che essere mortificato...

[Daken97]

"arnett":@Bokonon secondo me quel ragionamento è sbagliato; è sbagliata pure l'analogia che fai.
Un insieme vuoto è vuoto, un insieme con il vettore nullo ha un elemento. Non c'è analogia.

Detto questo; ho già detto che il "paradosso" di Daken deriva dal non utilizzare definizioni corrette per enti fondamentali come basi e dimensione di sottospazi. Se degli insegnanti ti propongono definizioni che generano paradossi, quelle non sono buone definizioni. Ho già chiarito che come tali vanno abbandonate. Se poi vuoi continuare ad usarle per poi dire che ci sono dei paradossi beh fai pure; magari un giorno questo presunto paradosso porterà il tuo nome.

Magari, sarebbe un onore vedere il mio nome sui libri di matematica.


Parlando seriamente, a me dispiace che Bokonon se la sia presa per così poco, e lo dico in tutta sincerità. Riguardo al thread, voglio riproporre questa analogia... se l'insieme dei numeri divisibili per zero (tanto per citarne uno) è quello vuoto, perché non posso affermare lo stesso sulle basi, visto che la base di un sottospazio banale (una base è un insieme) non ha elementi? Che poi non è una cosa ammessa "per convenzione", è ovvio che non ci sono vettori in grado di generare tale sottospazio.

[axpgn]

Provo a ricapitolare …

Un insieme composto dal solo vettore nullo è uno spazio vettoriale perché ne rispetta i requisiti (poi chiamatelo come volete: spazio nullo, spazio banale, … )
La base di uno spazio vettoriale $V$ è un suo sottoinsieme $B$ formato da vettori indipendenti che sono un sistema di generatori di $V$.
La dimensione di una base è il numero dei vettori che la compongono (la cardinalità di $B$)
Ora, non esiste nessun sottoinsieme dello spazio nullo che sia formato da vettori linearmente indipendenti che lo generino quindi lo spazio nullo non ha una base.
Ergo la dimensione della sua base è zero.

Isn't it?

Cordialmente, Alex

P.S. adesso arriva anto ...

[anto_zoolander]

Può essere mai che per ogni post di Daken ci sia un battibecco?

A mio avviso è una questione abbastanza delicata. Mi sento di concordare con @arnett sul fatto che possa essere preso per convenzione il fatto che la dimensione dello spazio nullo sia zero, però si potrebbe andare più a fondo.

Prendiamo lo spazio banale $V= <<0>>$ su un campo $K$. Sostanzialmente è uno spazio vettoriale avente un solo elemento e che soddisfa la sequela di assiomi che servono per definire uno spazio vettoriale.

-La prima cosa da notare è che effettivamente lo spazio nullo è finitamente generato ovvero che esiste un sottoinsieme finito di vettori il cui span coincida con lo spazio.
In questo caso il 'sottoinsieme' risulta essere semplicemente ${0}$ ed il fatto che sia finitamente generato è vero per il semplice fatto che $0=lambda*0, forall lambda in K$

-La seconda cosa da notare è: lo spazio nullo ha un solo elemento che per definizione risulta linearmente dipendente(una qualsiasi combinazione con scalari non nulli, torna sempre il vettore nullo).

Ma allora se l'unico vettore che ha 'sto spazio è linearmente dipendente, come ce la troviamo una base?
Dalla definizione(alla buona) la base di uno spazio è un sottoinsieme di vettori linearmente indipendenti che genera lo spazio

a questo aggiungiamo che: se ad un sistema di vettori si aggiunge il vettore nullo, il sistema sarà linearmente dipendente. Appare chiaro che qualsiasi sia la base di $V$ non potrà contenere per nessun motivo il vettore nullo.
Allora supponiamo che tale base $B$ esista:

se $B$ è non vuota allora $B=V$ e quindi $0 in B => B$ non è una base.

Quindi questo caso lo possiamo scartare a priori.
Nella definizione di 'base' si chiede semplicemente che si tratti di un sottoinsieme di $V$ e quindi qui vado IMHO:

$B=emptyset$ è una base dello spazio nullo.

Chi è $$? è l'intersezione di tutti i sottospazi di $V$ contenenti l'insieme vuoto e questo sarà lo spazio nullo. Infatti i sottospazi vettoriali contengono per definizione tutti almeno un elemento e l'intersezione di tutti i sottospazi che contengono il vettore nullo è lo spazio nullo.

Da questo segue che $ = <0>$ e quindi essendo $emptyset$ una base di $V$ seguirà che $dimV=|B|=|emptyset|=0$.

Mi sembra un buon modo di dar senso alla dimensione dello spazio nullo. Non ho trovato molto in merito ma sicuramente già esisterà qualche risultato analogo


@alex

ho visto il tuo commento solo dopo aver inviato

[Daken97]

"anto_zoolander":Può essere mai che per ogni post di Daken ci sia un battibecco?

A mio avviso è una questione abbastanza delicata. Mi sento di concordare con @arnett sul fatto che possa essere preso per convenzione il fatto che la dimensione dello spazio nullo sia zero, però si potrebbe andare più a fondo.

Prendiamo lo spazio banale $V= <<0>>$ su un campo $K$. Sostanzialmente è uno spazio vettoriale avente un solo elemento e che soddisfa la sequela di assiomi che servono per definire uno spazio vettoriale.

-La prima cosa da notare è che effettivamente lo spazio nullo è finitamente generato ovvero che esiste un sottoinsieme finito di vettori il cui span coincida con lo spazio.
In questo caso il 'sottoinsieme' risulta essere semplicemente ${0}$ ed il fatto che sia finitamente generato è vero per il semplice fatto che $0=lambda*0, forall lambda in K$

-La seconda cosa da notare è: lo spazio nullo ha un solo elemento che per definizione risulta linearmente dipendente(una qualsiasi combinazione con scalari non nulli, torna sempre il vettore nullo).

Ma allora se l'unico vettore che ha 'sto spazio è linearmente dipendente, come ce la troviamo una base?
Dalla definizione(alla buona) la base di uno spazio è un sottoinsieme di vettori linearmente indipendenti che genera lo spazio

a questo aggiungiamo che: se ad un sistema di vettori si aggiunge il vettore nullo, il sistema sarà linearmente dipendente. Appare chiaro che qualsiasi sia la base di $V$ non potrà contenere per nessun motivo il vettore nullo.
Allora supponiamo che tale base $B$ esista:

se $B$ è non vuota allora $B=V$ e quindi $0 in B => B$ non è una base.

Quindi questo caso lo possiamo scartare a priori.
Nella definizione di 'base' si chiede semplicemente che si tratti di un sottoinsieme di $V$ e quindi qui vado IMHO:

$B=emptyset$ è una base dello spazio nullo.

Chi è $$? è l'intersezione di tutti i sottospazi di $V$ contenenti l'insieme vuoto e questo sarà lo spazio nullo. Infatti i sottospazi vettoriali contengono per definizione tutti almeno un elemento e l'intersezione di tutti i sottospazi che contengono il vettore nullo è lo spazio nullo.

Da questo segue che $ = <0>$ e quindi essendo $emptyset$ una base di $V$ seguirà che $dimV=|B|=|emptyset|=0$.

Mi sembra un buon modo di dar senso alla dimensione dello spazio nullo. Non ho trovato molto in merito ma sicuramente già esisterà qualche risultato analogo


@alex

ho visto il tuo commento solo dopo aver inviato

Non c'è niente da fare, Antoo è il mio santo protettore della matematica.



Però ecco, tornando al quesito di base, riconosci che questa risposta comunque riserva dei paradossi? Perché esso (in quanto base) dovrebbe essere linearmente indipendente, però genera soltanto lo spazio banale. Credo ci sia un puro problema di definizioni e nulla più.

[anto_zoolander]

Onestamente no. Se non vuoi prendere per definizione che lo spazio nullo abbia dimensione zero e supponi che debba avere una base, allora deve valere quello che ha detto Alex. Essendo la dimensione di uno spazio la carnalità di una delle sue basi è ovvio che per avere dimensione zero la base debba essere vuota: quindi non mi stupisce più di tanto la cosa

[anto_zoolander]

Non sono l’unico ad affermarlo

Giustificherò tutte le cose che ti rendono perplesso appena torno dalla palestra.

[axpgn]

@anto
[ot]

"anto_zoolander":Essendo la dimensione di uno spazio la carnalità di una delle sue basi ...

Cos'è? Un lapsus freudiano? [/ot]

[Daken97]

"axpgn":@anto
[ot][quote="anto_zoolander"]Essendo la dimensione di uno spazio la carnalità di una delle sue basi ...

Cos'è? Un lapsus freudiano? [/ot][/quote]

Quando si affrontano argomenti simili capita, io ho addirittura commesso diversi strafalcioni ortografici (e il che è anche peggio).



Tornando a noi, credo che alla base ci sia un problema di definizioni. Il paradosso sussiste nel fatto che una base è per definizione un insieme di vettori linearmente indipendenti, ma se l'insieme vuoto genera per l'appunto il benedetto sottospazio banale, come fa ad essere "linearmente indipendente" ? A me sembra che da qualunque presupposto partiamo (non è che considero l'insieme vuoto per pura fissa personale, anche perché non mi conviene comunque) ci troviamo sempre di fronte a un paradosso.

[Magma1]

"arnett":
Sempre Sernesi, qualche paragrafo più in là:

Lo spazio vettoriale ${0}$ costituito dal solo vettore $0$ non possiede una base finita, poiché il suo unico elemento è linearmente dipendente.[...] Se$V={0}$ si pone $"dim"(V)=0$.

Il titolare del mio corso di G&AL era collega del Sernesi e anche lui concordava con ciò.

Credo sia come la disputa se $0 in NN$ o meno

[Daken97]

"arnett":

Ora: l'insieme vuoto non è un sottoinsieme finito di vettori di $V$. Quindi per lui non vale quanto enunciato in questa proposizione. Quindi tutto il resto non è valido

Scusa eh, non è per cattiveria, ma le DEFINIZIONI escludono l'insieme vuoto dalla "categoria" degli insiemi infiniti, questo te lo posso garantire... anzi, l'insieme vuoto è un insieme finito di cardinalità zero.

[axpgn]

"arnett":@daken: Il problema è che (per me) l'insieme vuoto non è un insieme di vettori, non che non è finito.

Beh, questo mi pare facilmente smentibile: l'insieme vuoto è sottoinsieme di ogni insieme quindi anche di un qualsiasi insieme di vettori perciò, per quanto ti possa sembrare strano, l'insieme vuoto è (anche) un insieme di vettori.

Cordialmente, Alex

[anto_zoolander]

@arnett
Guarda che la scrittura $<>$ ha perfettamente senso.
Di fatto $<> := bigcap_(SsubsetWleqV)W$ quindi non c’è nulla di male in quello che ho scritto
Oltre questo non potevo dilungarmi troppo, sarebbe diventata una super****la.

Poi assumendo che $emptyset$ sia linearmente indipendente quadra tutto.
La notazione $<>$ esprime sempre il fatto che sia

$<> = <<{v_i}_(i=1)^(n)>> = bigcap_({v_i}_(i=1)^(n) subsetWleqV)W$

Quindi $<> = bigcap_(emptyset subset WleqV)W={0}= <<0>>$

@alex
Ti giuro che non mi ero accorto di quel refuso

[Daken97]

"anto_zoolander":@arnett
Guarda che la scrittura $<>$ ha perfettamente senso.
Di fatto $<> := bigcap_(SsubsetWleqV)W$ quindi non c’è nulla di male in quello che ho scritto
Oltre questo non potevo dilungarmi troppo, sarebbe diventata una super****la.

Poi assumendo che $emptyset$ sia linearmente indipendente quadra tutto.
La notazione $<>$ esprime sempre il fatto che sia

$<> = <<{v_i}_(i=1)^(n)>> = bigcap_({v_i}_(i=1)^(n) subsetWleqV)W$

Quindi $<> = bigcap_(emptyset subset WleqV)W={0}= <<0>>$

@alex
Ti giuro che non mi ero accorto di quel refuso

Benissimo, ma è proprio qui che sorge la mia perplessità... come facciamo a dimostrare che l'insieme vuoto è linearmente indipendente, se esso genera solo il sottospazio banale? Lo dobbiamo ammettere per convenzione?

[anto_zoolander]

Lo si può assumere per convenzione: tra i libri che ho letto qualche autore usa questa posizione.

[Daken97]

"anto_zoolander":Lo si può assumere per convenzione: tra i libri che ho letto qualche autore usa questa posizione.

Quindi il paradosso esiste... o meglio, dovremmo rivedere le definizioni e specificare che quella dei vettori linearmente indipendenti è valida solo se l'insieme in questione non è vuoto.

[axpgn]

@Daken97
Non capisco questa tua 'avversione' per le convenzioni ... la Matematica non è altro che un gioco con delle regole (alias definizioni alias convenzioni), l'importante è che non siano ambigue e contraddittorie; se poi è anche utile, meglio ...
I paradossi li hai quando partendo da presupposti sicuramente veri giungi ad una contraddizione ma non è questo il caso (in entrambe le "visioni" )

Cordialmente, Alex