Paradosso all'indipendenza lineari e sulle basi

[Daken97]

Come detto in varie circostanze, la base del sottospazio banale ha dimensione 0, e pertanto rappresenta l'insieme nullo. Tuttavia da questa osservazione nasce un paradosso... se l'insieme vuoto è una base per quel sottospazio, dovrei dire che esso è linearmente indipendente, ma come faccio ad affermare ciò se genera solo ed esclusivamente il vettore nullo?



Intuitivamente secondo me la risposta è la seguente... la definizione classica di indipendenza lineare è valida per tutti gli insiemi di vettori, tranne quello vuoto.



EDIT: la base del sottospazio banale ha cardinalità 0, non dimensione 0... 0 è la dimensione di tale sottospazio.

[Daken97]

"axpgn":@Daken97
Non capisco questa tua 'avversione' per le convenzioni ... la Matematica non è altro che un gioco con delle regole (alias definizioni alias convenzioni), l'importante è che non siano ambigue e contraddittorie; se p5oi è anche utile, meglio ...
I paradossi li hai quando partendo da presupposti sicuramente veri giungi ad una contraddizione ma non è questo il caso (in entrambe le "visioni" )

Cordialmente, Alex

Non ho nessuna avversione nei confronti delle convenzioni, però è bene che alcune cose vengano specificate nelle definizioni ufficiali, altrimenti si creano inevitabilmente delle contraddizioni.

[axpgn]

"Daken97":... vengano specificate nelle definizioni ufficiali, ...

Guarda, mi sbilancio: non esistono definizioni ufficiali
Esistono definizioni più "accettate" di altre (e comunque in evoluzione ...)
L'importante è "usarle" coerentemente.

[Daken97]

"axpgn":[quote="Daken97"]... vengano specificate nelle definizioni ufficiali, ...

Guarda, mi sbilancio: non esistono definizioni ufficiali
Esistono definizioni più "accettate" di altre (e comunque in evoluzione). [/quote]


Purtroppo è la verità...

[theproofistrivial]

Torno tra voi ora (ero precedentemente noto come Gi.) dopo essermi già iscritto e aver dimenticato la password per dirvi che l’insieme vuoto è una base dello spazio nullo, senza bisogno di alcuna “convenzione”.
Il punto è dare una giusta def di indipendenza lineare e sapere cosa è un modulo libero.
Sia k un anello commutativo unitario.
Una famiglia di vettori di un k-modulo $M$ , cioè una funzione da un insieme di indici $I$ a un k-modulo $M$, è linearmente indipendente se e solo se l’applicazione lineare indotta dal k modulo libero su $I$ a $M$ è iniettiva.
Il k-modulo libero sull’insieme vuoto è lo spazio nullo perché c’è una sola applicaZione lineare dallo spazio nullo in ogni k-modulo, e siccome questa è iniettiva l’insieme vuoto è base dello spazio nullo.
Ora che siete convinti di questo, potete dimostrare che k è un campo se e solo se ogni k-modulo ammette una base...

[Daken97]

"theproofistrivial":Torno tra voi ora (ero precedentemente noto come Gi.) dopo essermi già iscritto e aver dimenticato la password per dirvi che l’insieme vuoto è una base dello spazio nullo, senza bisogno di alcuna “convenzione”.
Il punto è dare una giusta def di indipendenza lineare e sapere cosa è un modulo libero.
Sia k un anello commutativo unitario.
Una famiglia di vettori di un k-modulo $M$ , cioè una funzione da un insieme di indici a un k-modulo $M$, è linearmente indipendente se e solo se l’applicazione lineare indotta dal k modulo libero su $I$ a $M$ è iniettiva.
Il k-modulo libero sull’insieme vuoto è lo spazio nullo perché c’è una sola applicaZione lineare dallo spazio nullo in ogni k-modulo, e siccome questa è iniettiva l’insieme vuoto è base dello spazio nullo.
Ora che siete convinti di questo, potere dimostrare che k è un campo se e solo se ogni k-modulo ammette una base...

Che dire, per risolvere questo quesito c'era bisogno di un utente che ha conoscenze nettamente sopra alla media... il fatto è che tutti conoscono una definizione più semplicistica di indipendenza lineare (un insieme di vettori è L.I. se e solo l'unica combinazione lineare che genera il vettore nullo è una n-ipla interamente nulla) che evidentemente è valida solo se l'insieme in questione non è vuoto.

[dissonance]

Mi risulta incredibile che si possano spendere tante pagine di topic per questa cosa insignificante. Si farebbe MOLTO prima adottando un approccio pratico, che non mi pare abbia proposto nessuno finora (in caso contrario, me ne scuso).

Così come nel caso del grado del polinomio nullo, le convenzioni si adottano in modo che siano consistenti con i teoremi fondamentali. Il teorema fondamentale in questo caso è la formula di Grassmann: se \(U, W\) sono sottospazi vettoriali di \(V\), allora
\[
\text{dim}(U) + \text{dim}(V) = \text{dim}(U+V) + \text{dim}(U\cap V).\]
Cosa succede a questa formula se \(U\cap V=\{0\}\)? Essa si riduce a
\[
\text{dim}(U) + \text{dim}(V) = \text{dim}(U+V) .\]
Quindi, la giusta estensione è che la dimensione di \(\{0\}\) è \(0\).

[ot]Nel caso del polinomio nullo il teorema fondamentale è la formula del grado del prodotto:
\[
\text{deg}(PQ)=\text{deg}(P)+\text{deg}(Q).\]
È per preservare questa formula che si stabilisce per convenzione che \(\deg(0)=-\infty\).[/ot]

[Magma1]

@dissonance: il problema sollevato non era riguardante la dimensione di ${0}$, ma se l'insieme vuoto $ \emptyset$ sia o meno una base dell'insieme nullo ${0}$.

[dissonance]

@Magma: Capisco. Mi pare una cosa ancora più insostanziale allora.

[axpgn]

Che fosse insostanziale però lo si capiva già dal titolo: "Paradosso … " quindi che si discutesse del sesso degli angeli mi sembrava ovvio e di conseguenza cercare concretezza mi pare fatica sprecata … IMHO

[Daken97]

Non è così insignificante, almeno per chi è fissato con i formalismi... comunque è ovvio che la dimensione del sottospazio banale è 0, difatti era la premessa di questa discussione.

[axpgn]

Non fraintendere, non ho detto "insignificante" ... parlare di argomenti teorici un po' "borderline", se così possiamo chiamarli, porta spesso a discussioni più o meno astratte (e spesso lunghe) ma non per questo insignificanti ... però c'è chi preferisce argomenti più concreti

Cordialmente, Alex

[Daken97]

"axpgn":Non fraintendere, non ho detto "insignificante" ... parlare di argomenti teorici un po' "borderline", se così possiamo chiamarli, porta spesso a discussioni più o meno astratte (e spesso lunghe) ma non per questo insignificanti ... però c'è chi preferisce argomenti più concreti

Cordialmente, Alex

[gabriella127]

"Daken97":

... è proprio qui che sorge la mia perplessità... come facciamo a dimostrare che l'insieme vuoto è linearmente indipendente? Lo dobbiamo ammettere per convenzione?

Secondo me ha ragione sia Daken97 e i suoi 'fior di professori' , sia chi pone la questione diversamente. De gustibus.

Sono i paradossi che sorgono quando si parla di insieme vuoto, di natura logica, anche se a me sembrano più convenzioni che paradossi. E non mi hanno mai molto affascinato.

Che l'insieme vuoto sia un insieme di vettori è vero, su questo ha risposto già axpgn. L'insieme vuoto è un insieme di vettori, così come è un insieme di qualunque altra cosa, pomodori, cavalli, pizze etc. Poiché è sottoinsieme di qualsiasi insieme.

Perché è linearmentre indipendente? Ricordo una legge della logica, che a me è stata insegnata come legge, ma a me pareva una convenzione, cioè che dell'insieme vuoto si può predicare qualunque cosa, ossia che ogni affermazione riguardante l'insieme vuoto è vera.
Esempio che ricordo fece il professore in aula: se io dico 'tutti i cavalli che sono in questa stanza sono viola' e non ci sono cavalli nella stanza, la proposizione è vera.

Quindi secondo me perciò si può affermare che l'insieme dei vettori dell'insieme vuoto è linearmente indipendente. E' anche linearmente dipendente? Sì. E' viola? Sì.