Palle chiuse compatte in spazi metrici
È noto che la chiusura di una palla $\bar{B(x,r)}$ e la palla chiusa $\bar{B}(x,r)$ sono due cose diverse, ma io mi stavo chiedendo se fossero equivalenti le seguenti condizioni su uno spazio metrico:
$1)$ ogni palla chiusa è compatta;
$2)$ ogni chiusura di una palla è compatta.
Chiaramente $1)=>2)$ perché $\bar{B(x,r)}\sub\bar{B}(x,r)$, quindi dal fatto che chiuso in un compatto è compatto si conclude.
L'altro verso non so se è vero, ho più che altro cercato controesempi ma non ne ho trovati, sapete darmi una mano?
$1)$ ogni palla chiusa è compatta;
$2)$ ogni chiusura di una palla è compatta.
Chiaramente $1)=>2)$ perché $\bar{B(x,r)}\sub\bar{B}(x,r)$, quindi dal fatto che chiuso in un compatto è compatto si conclude.
L'altro verso non so se è vero, ho più che altro cercato controesempi ma non ne ho trovati, sapete darmi una mano?
Risposte
Ciao,
beh intanto siccome la funzione distanza $X xx X to RR$ è continua, le palle chiuse sono chiusi della topologia.
Sia $B$ la palla chiusa di centro $x$ e raggio $r$.
Ovviamente $B$ è contenuta nella palla aperta $C$ di centro $x$ e raggio $r+1$.
La chiusura di $C$ è compatta per (2), chiamiamola $D$.
Allora siccome $B$ è chiuso in $X$, è chiuso in $D$ che è compatto quindi $B$ è compatto.
Concordi?
Giusto per dare un esempio facile (non per te che lo sai, ma per chi legge e magari vuole un esempio)
beh intanto siccome la funzione distanza $X xx X to RR$ è continua, le palle chiuse sono chiusi della topologia.
Sia $B$ la palla chiusa di centro $x$ e raggio $r$.
Ovviamente $B$ è contenuta nella palla aperta $C$ di centro $x$ e raggio $r+1$.
La chiusura di $C$ è compatta per (2), chiamiamola $D$.
Allora siccome $B$ è chiuso in $X$, è chiuso in $D$ che è compatto quindi $B$ è compatto.
Concordi?
Giusto per dare un esempio facile (non per te che lo sai, ma per chi legge e magari vuole un esempio)
"otta96":Per esempio se $X$ ha la metrica discreta (la distanza tra $x$ e $y$ è $1$ se $x ne y$ e è $0$ se $x=y$) allora le palle aperte di raggio $1$ sono i punti, che coincidono con la loro chiusura perché sono chiusi, e c'è un'unica palla chiusa di raggio $1$, l'intero spazio $X$.
È noto che la chiusura di una palla $\bar{B(x,r)}$ e la palla chiusa $\bar{B}(x,r)$ sono due cose diverse
Fermi tutti... no, non è una rapina! 
Le palle chiuse e limitate (in uno spazio metrico) non è detto che siano compatte: click oppure uno spazio topologico colla metrica discreta (Martino docet); per ciò, se ogni palla chiusa di uno spazio metrico è compatta, allora le palle aperte sono relativamente compatte, ovvero a chiusura compatta.
Le palle chiuse e limitate (in uno spazio metrico) non è detto che siano compatte: click oppure uno spazio topologico colla metrica discreta (Martino docet); per ciò, se ogni palla chiusa di uno spazio metrico è compatta, allora le palle aperte sono relativamente compatte, ovvero a chiusura compatta.
Mamma mia quanto sono stupido, certamente concordo con te Martino.
Già che siamo a dare esempi possiamo dire che dato un qualsiasi spazio metrico $(X,d)$ esiste una metrica limitata ed equivalente a quella di partenza data da $\bar{d}(x,y)=min{1,d(x,y)}$ tale che le sue palle chiuse di raggio $1$ sono tutto lo spazio, mentre quelle aperte non lo sono (se avevamo preso lo spazio metrico iniziale con questa proprietà), che ci fornisce molti esempi. Mi stavo chiedendo tra l'altro se esistesse un esempio (di spazio in cui le palle chiuse sono più grandi delle chiusure delle palle) in cui lo spazio metrico non è limitato perché tutti quelli che conosco io sono limitati.
P.S. @j18eos lo so che in generale non vale, ma era l'ipotesi dalla quale partivamo che le palle chiuse e limitate fossero compatte.
"Martino":Per esempio se $X$ ha la metrica discreta (la distanza tra $x$ e $y$ è $1$ se $x ne y$ e è $0$ se $x=y$) allora le palle aperte di raggio $1$ sono i punti, che coincidono con la loro chiusura perché sono chiusi, e c'è un'unica palla chiusa di raggio $1$, l'intero spazio $X$.[/quote]
Giusto per dare un esempio facile (non per te che lo sai, ma per chi legge e magari vuole un esempio)
[quote="otta96"]È noto che la chiusura di una palla $\bar{B(x,r)}$ e la palla chiusa $\bar{B}(x,r)$ sono due cose diverse
Già che siamo a dare esempi possiamo dire che dato un qualsiasi spazio metrico $(X,d)$ esiste una metrica limitata ed equivalente a quella di partenza data da $\bar{d}(x,y)=min{1,d(x,y)}$ tale che le sue palle chiuse di raggio $1$ sono tutto lo spazio, mentre quelle aperte non lo sono (se avevamo preso lo spazio metrico iniziale con questa proprietà), che ci fornisce molti esempi. Mi stavo chiedendo tra l'altro se esistesse un esempio (di spazio in cui le palle chiuse sono più grandi delle chiusure delle palle) in cui lo spazio metrico non è limitato perché tutti quelli che conosco io sono limitati.
P.S. @j18eos lo so che in generale non vale, ma era l'ipotesi dalla quale partivamo che le palle chiuse e limitate fossero compatte.
[ot]Ho riletto due volte il tuo post prima di rispondere; sarà che sono ancòra fuso per la giornata di sabato 28/04/2018, ma non mi è sembrato molto chiaro, così ho scritto una piccola chicca degli spazi metrici; così anche per aiutare chi ha difficoltà con gli insiemi compatti negli spazi metrici. 
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