Osservazioni + esercizio
ho un problema a preparare l'esame scritto di geometria per un semplice motivo
a lezione ho visto molti esercizi però molti esercizi di esame sono differenti da quelli che abbiamo visto a lezione, è il problema più grosso è che a settembre ho l'esame e i professori rientrano dalla vacanza solo a settembre, cmq hanno consigliato dei libri per le esercitazioni e fra questi
C. Bignardi, B. Ruini, F. Spaggiari, Esercizi di Algebra Lineare, Pitagora Editrice
B. Ruini, F. Spaggiari, Esercizi di Geometria, Pitagora Editrice
il primo riguarda l'algebra lineare, mentre il secondo la geometria euclidea.
Il primo libro l'ho acquistato qualche giorno fa e purtroppo non tratta neanche un esercizio tipico di esame, il secondo l'ho ordinato e la cosa che spero vivamente è che almeno questo tratti in maniera esauriente la parte riguardante la geometria euclidea.
Per quanto riguarda l'algebra lineare ha detto il mio professore che le case editrici si rifiutano di pubblicare libri per il corso di laurea in matematica perchè gli iscritti a questa facoltà scarseggiano, mentre la parte riguardante la geometria euclidea bene o male dovrebbe essere trattata nel libro che ho ordinato.
Percaso qualche utente del forum conosce o ha avuto modo di acquistare B. Ruini, F. Spaggiari, Esercizi di Geometria, Pitagora Editrice? Se si mi potrebbe dire se è esaudiente per preparare il mio esame? per farvi un esempio posterò un esercizio d'esame degli anni passati:
In uno spazio Euclideo, si determinino le circonferenze di raggio 1, passanti per i punti A(1,0,0), B(0,0,1) e contenute in un piano parallelo alla retta
r : x-y+1=0=x-z.
Qualcuno sa se percaso in quel libro sono trattati esercizi come questo e altri di questo livello di difficoltà o anche maggiore?
Poi se qualcuno mi spiega come risolvere questo esercizio gliene sono grato, so che il regolamento di questo forum prevede che sia io a dare l'input con la soluzione dell'esercizio, ma purtroppo non ho la minima idea su come fare ad iniziare.
Caso mai un'idea che mi è venuta è quella di trovarmi il piano parallelo alla retta r e leggendo la traccia mi è venuto in mento che anche questo piano passi per i punti A e B e quindi per prima cosa ho tentato di trovarmi il piano imponendo il passaggio del piano per questi due punti e poi imponendo la condizione di parallelismo con la retta r, perciò ho scritto la retta r in forma parametrica e ho imposto la condizione di parallelismo e così mi è venuto da risolvere un sistema di tre equazioni in quattro incognite, però nonostante questo sono riuscito a tirar fuori il piano che cercavo(se il mio procedimento è giusto) perchè le soluzioni del sistema dipendono da un solo parametro e quindi mettendolo in evidenza nell'equazione generica del piano ho eliminato il parametro incognito.
Adesso non so se questo procedimento che ho utilizzato sia corretto per determinare il piano, quindi chiedo a voi utenti del forum se potete darmi delle delucidazioni a riguardo e di aiutarmi magari facendomi vedere i passaggi per la risoluzione dell'esercizio? lo so che questo forum non è un eserciziario però io ce la sto mettendo tutta per cercare di prepararmi e inoltre non sono neanche sicuro che il libro che ho ordinato e che mi arriverà la prossima settimana possa aiutarmi, che cosa posso fare?
a lezione ho visto molti esercizi però molti esercizi di esame sono differenti da quelli che abbiamo visto a lezione, è il problema più grosso è che a settembre ho l'esame e i professori rientrano dalla vacanza solo a settembre, cmq hanno consigliato dei libri per le esercitazioni e fra questi
C. Bignardi, B. Ruini, F. Spaggiari, Esercizi di Algebra Lineare, Pitagora Editrice
B. Ruini, F. Spaggiari, Esercizi di Geometria, Pitagora Editrice
il primo riguarda l'algebra lineare, mentre il secondo la geometria euclidea.
Il primo libro l'ho acquistato qualche giorno fa e purtroppo non tratta neanche un esercizio tipico di esame, il secondo l'ho ordinato e la cosa che spero vivamente è che almeno questo tratti in maniera esauriente la parte riguardante la geometria euclidea.
Per quanto riguarda l'algebra lineare ha detto il mio professore che le case editrici si rifiutano di pubblicare libri per il corso di laurea in matematica perchè gli iscritti a questa facoltà scarseggiano, mentre la parte riguardante la geometria euclidea bene o male dovrebbe essere trattata nel libro che ho ordinato.
Percaso qualche utente del forum conosce o ha avuto modo di acquistare B. Ruini, F. Spaggiari, Esercizi di Geometria, Pitagora Editrice? Se si mi potrebbe dire se è esaudiente per preparare il mio esame? per farvi un esempio posterò un esercizio d'esame degli anni passati:
In uno spazio Euclideo, si determinino le circonferenze di raggio 1, passanti per i punti A(1,0,0), B(0,0,1) e contenute in un piano parallelo alla retta
r : x-y+1=0=x-z.
Qualcuno sa se percaso in quel libro sono trattati esercizi come questo e altri di questo livello di difficoltà o anche maggiore?
Poi se qualcuno mi spiega come risolvere questo esercizio gliene sono grato, so che il regolamento di questo forum prevede che sia io a dare l'input con la soluzione dell'esercizio, ma purtroppo non ho la minima idea su come fare ad iniziare.
Caso mai un'idea che mi è venuta è quella di trovarmi il piano parallelo alla retta r e leggendo la traccia mi è venuto in mento che anche questo piano passi per i punti A e B e quindi per prima cosa ho tentato di trovarmi il piano imponendo il passaggio del piano per questi due punti e poi imponendo la condizione di parallelismo con la retta r, perciò ho scritto la retta r in forma parametrica e ho imposto la condizione di parallelismo e così mi è venuto da risolvere un sistema di tre equazioni in quattro incognite, però nonostante questo sono riuscito a tirar fuori il piano che cercavo(se il mio procedimento è giusto) perchè le soluzioni del sistema dipendono da un solo parametro e quindi mettendolo in evidenza nell'equazione generica del piano ho eliminato il parametro incognito.
Adesso non so se questo procedimento che ho utilizzato sia corretto per determinare il piano, quindi chiedo a voi utenti del forum se potete darmi delle delucidazioni a riguardo e di aiutarmi magari facendomi vedere i passaggi per la risoluzione dell'esercizio? lo so che questo forum non è un eserciziario però io ce la sto mettendo tutta per cercare di prepararmi e inoltre non sono neanche sicuro che il libro che ho ordinato e che mi arriverà la prossima settimana possa aiutarmi, che cosa posso fare?
Risposte
Non mi pare si tratti di un esercizio molto difficile, secondo me un testo di esercizi di Geometria 1 va bene, io usavo lo Stoka-Pipitone, Esercizi e problemi di Geometria 1, ne fa prima tanti risolti e poi ne lascia altrettanti da fare, di questa difficoltà o superiore.
Quanto a quello da te posto comincia con il trovare il generico piano su cui sta la circonferenza, ovvero parallelo ad $r$ e passante per $A$ e $B$. Una volta trovato quello basta trovare i due centri possibili che ha la circonferenza, sapendo che il raggio vale $1$. Infine scrivi l'equazione delle due sfere di centro trovato e raggio $1$.
Quanto a quello da te posto comincia con il trovare il generico piano su cui sta la circonferenza, ovvero parallelo ad $r$ e passante per $A$ e $B$. Una volta trovato quello basta trovare i due centri possibili che ha la circonferenza, sapendo che il raggio vale $1$. Infine scrivi l'equazione delle due sfere di centro trovato e raggio $1$.
"serway":
Per caso qualche utente del forum conosce o ha avuto modo di acquistare B. Ruini, F. Spaggiari, Esercizi di Geometria, Pitagora Editrice? Se si mi potrebbe dire se è esaudiente per preparare il mio esame? per farvi un esempio posterò un esercizio d'esame degli anni passati:
Sinceramente? Esaudiente no. Tutt'altro che inutile, però. In ogni caso il livello non è difficile, ma a mio parere non è il libro che ti accompagna passo passo. Se fai qualche esercizio di quelli, comunque male non ti farà di sicuro (a me un poco, ma poco, è servito).
Il mio consiglio è una ricerca in qualche biblioteca della tua città e/o sul motore di ricerca delle biblioteche (opac sbn e derivati
)."serway":
Per quanto riguarda l'algebra lineare ha detto il mio professore che le case editrici si rifiutano di pubblicare libri per il corso di laurea in matematica perchè gli iscritti a questa facoltà scarseggiano, mentre la parte riguardante la geometria euclidea bene o male dovrebbe essere trattata nel libro che ho ordinato.
Permettimi di dire che in parte il tuo professore si sbaglia. Non è che in giro ci sia granchè, ma qualcosa di algebra lineare c'è. Il problema semmai riguarda proprio la geometria.
In ogni caso, quoto intanto il consiglio di Luca.Lussardi e poi magari aggiungerei (per l'algebra lineare più che altro) di dare un'occhiata all'Abate (Esercizi di geometria), che non ho mai usato, ma qui se ne è spesso parlato bene (quindi mi fido)...
Poi, sempre rimanendo sull'editrice Pitagora, ho visto che hanno fatto uscire qualcosa negli ultimi anni (Parigi-Palestini, Mazzanti-Roselli,... guarda qui http://www.pitagoragroup.it/pited/MATEMATI.html). Però non li ho mai visti (a parte una volta che ho sfogliato il Parigi, ma l'unica cosa che mi ricordo è la dedica a Cofferati
).Comunque, dai, una "nuotata" tra i libri delle biblioteche della tua zona io la farei (magari non andandoci a caso, ma solo in quelle opportunamente rifornite)
.Lascio ora la parola ad opinioni più "illustri".
"serway":
In uno spazio Euclideo, si determinino le circonferenze di raggio 1, passanti per i punti A(1,0,0), B(0,0,1) e contenute in un piano parallelo alla retta
r : x-y+1=0=x-z.
Inizia a scrivere l'equazione del piano parallelo alla retta $r$ assegnata e passante per i due punti $A$ e $B$.
Se non ho fatto male i calcoli il piano dovrebbe avere equazione cartesiana
$x-2y+z-1=0$
le circonferenze volute hanno il centro sulla retta
$((x),(y),(z)) = t ((1),(1),(1)) + ((0),(-1/2),(0))$
Imponendo che il raggio sia uguale a 1 si arriva all'equazione
$3t^2 - 3t + 1/4 = 0$
le 2 soluzioni danno i due centri.
$x-2y+z-1=0$
le circonferenze volute hanno il centro sulla retta
$((x),(y),(z)) = t ((1),(1),(1)) + ((0),(-1/2),(0))$
Imponendo che il raggio sia uguale a 1 si arriva all'equazione
$3t^2 - 3t + 1/4 = 0$
le 2 soluzioni danno i due centri.
solo una domanda
come si determina quella retta?
cmq sia a me è venuto in mento un altro modo per risolvere l'esercizio, oltre a quello che mi ha consigliato lussardi luca l'amministratore del forum che ringrazio,
allora il piano anche a me è uscito x-2y+z-1=0, poi mi sono trovato le coordinate del punto medio tra A e B che è M(1/2,0,1/2) e poi mi sono trovato le equazioni della retta ortogonale al piano x-2y+z-1=0 e passante per il punto medio M, quindi i centri delle due circonferenze passeranno per questa retta, secondo voi è esatto come ragionamento?
come si determina quella retta?
cmq sia a me è venuto in mento un altro modo per risolvere l'esercizio, oltre a quello che mi ha consigliato lussardi luca l'amministratore del forum che ringrazio,
allora il piano anche a me è uscito x-2y+z-1=0, poi mi sono trovato le coordinate del punto medio tra A e B che è M(1/2,0,1/2) e poi mi sono trovato le equazioni della retta ortogonale al piano x-2y+z-1=0 e passante per il punto medio M, quindi i centri delle due circonferenze passeranno per questa retta, secondo voi è esatto come ragionamento?
"serway":
solo una domanda
come si determina quella retta?
Basta imporre che il centro stia sul piano di equazione $x-2y+z-1=0$
e stia anche sul piano equidistante dai punti $A$ e $B$.
"serway":
allora il piano anche a me è uscito x-2y+z-1=0, poi mi sono trovato le coordinate del punto medio tra A e B che è M(1/2,0,1/2) e poi mi sono trovato le equazioni della retta ortogonale al piano x-2y+z-1=0 e passante per il punto medio M, quindi i centri delle due circonferenze passeranno per questa retta, secondo voi è esatto come ragionamento?
Va bene anche come hai fatto te.
Infatti, se prendi $t=1/2$ nella mia formula trovi proprio il punto $(1/2,0,1/2)$ e il vettore,
a meno di multipli, è $((1),(1),(1))$.
Io, invece, per determinare l'equazione della retta, ho intersecato il piano $x-2y+z-1=0$ con il piano $x=z$,
che è il luogo dei punti equididtanti da $A$ e $B$.
Basta infatti imporre che il punto $((x),(y),(z))$ abbia la stessa distanza da $A$ e $B$:
$\sqrt((x-1)^2+y^2+z^2) = \sqrt(x^2+y^2+(z-1)^2)$
elevando al quadrato e semplificando ottieni proprio $x=z$
(data la particolare disposizione dei punti dell'esercizio ci si poteva arrivare anche
subito..)
vabene grazie per la risposta, un'ultima cosa e poi chiudo con questo esercizio
il passo finale è trovare esplicitamente le circonferenze e si può fare in due modo ho intersecando il piano con una sfera o intersecando due sfere
allora come sfere possiamo prendere proprio quelle aventi il centro uguale a quello delle due circonferenze giusto? e poi come piano quale scegliamo?
x-2y+z-1=0 ?
il passo finale è trovare esplicitamente le circonferenze e si può fare in due modo ho intersecando il piano con una sfera o intersecando due sfere
allora come sfere possiamo prendere proprio quelle aventi il centro uguale a quello delle due circonferenze giusto? e poi come piano quale scegliamo?
x-2y+z-1=0 ?
"serway":
vabene grazie per la risposta, un'ultima cosa e poi chiudo con questo esercizio
il passo finale è trovare esplicitamente le circonferenze e si può fare in due modo ho intersecando il piano con una sfera o intersecando due sfere
allora come sfere possiamo prendere proprio quelle aventi il centro uguale a quello delle due circonferenze giusto? e poi come piano quale scegliamo?
x-2y+z-1=0 ?
La scelta che si fa di solito è quella di considerare il centro della sfera coincidente con il centro
della circonferenza; il raggio della sfera, quindi, deve essere uguale a quello della circonferenza.
Il piano, stra-ovviamente, deve essere quello su cui "vive" la circonferenza.
Faccio notare che non è obbligatorio scelgiere una sfera come ho descritto.
Il piano però è sempre quello.
cioè va bene x-2y+z-1=0?
"serway":
cioè va bene x-2y+z-1=0?
Sì.
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