Ortogonalizzazione funzioni

[enry1912]

Salve a tutti, devo risolvere questo tipo di problemi

Nello spazio $L_2 {0,\pi}$ ortogonalizzare le funzioni $f_1 =1$ e $f_2 =x$ rispetto al peso $w(x)=x$.


Non riesco proprio a capire cosa devo fare, devo esprimere le funzioni rispetto alla base di Fourier?

Se possibile mi servirebbe una risposta o un consiglio su come risolvere entro domani

Grazie

[dissonance]

Devi applicare l'algoritmo di Gram Schmidt usando il prodotto scalare
\[
\langle f, g\rangle = \int_0^\pi f(x)g(x)x\, dx.\]

[enry1912]

grazie!!

tuttavia sto provando e penso non venga:
(prima ho sbagliato lo spazio del testo era $L_2 (0,1)$)

$f_1 =1$ $f_2 =x$
Allora per ortogonalizzare prendo $g_1 =1$ e calcolo
$g_2=f_2 -(int f_2 \cdot g_1 \cdot x dx)\cdot g_1$ con l'integrale fra $0$ e $1 $
$g_2=x -(int x^2 dx)\cdot 1$ che viene $g_1=x-1/3$
che tuttavia non soddisfa la condizione di ortogonalità quando poi faccio
$\int g_1 \cdot g_2 \cdot x dx$ in quanto mi esce diverso da zero.

sto sbagliando qualcosa?

[dissonance]

Sbagli la proiezione ortogonale. O normalizzi $g_1$, oppure usi la formula
\[
g_2= f_2- \langle f_2, g_1\rangle\frac{g_1}{\langle g_1,g_1\rangle}. \]
Tu ti sei dimenticato il denominatore \(\langle g_1,g_1\rangle\).

[enry1912]

Perfetto ho capito grazie mille!!!!