Ortogonalità retta piano al variare di un parametro reale

[Riccardo_91]

Salve a tutti, so che la domanda che sto per porvi è molto stupida, ma devo togliermi ogni dubbio sulla cosa.

Allora nello spazio euclideo $ E^3 $ si considerino la retta $ r $, ed il piano $ \pi $ :

$ r : { ax + z - 1 = 0, 2x + y -z + 2 = 0 $

$ \pi : 4x + 3y + az + 5 = 0 $

Per quali valori di $ a $, $ r $, e $ \pi $ risultano essere ortogonali ?

Allora effettivamente per essere ortogonali $ r $, e $ \pi $, la direzione di $ r $, e la normale del piano $ \pi $, devono essere proporzionali per cui ho risolto così:

$ alpha*underline{vr} = underline{n\pi} $

Ed effettivamente si risolve trovando sia $ alpha $, che $ a $. Ho fatto in questo modo perché usando il prodotto scalare risulta essere più complicato da svolgere.

Nonostante tutto non ne sono del tutto convinto, voi che dite?

[giampazero]

Ciao !
affinche' siano ortogonali i due vettori devono risultare paralleli

Si determina il vettore delle retta grazie al prodotto vettoriale tra i vettori binormali dei due piani

ovvero $|(i,j,k),(a,0,1),(2,1,-1)|$

e otteniamo $(-1,a+2,-a+2)$

inoltre abbiamo anche il vettore binormale del piano $(4,3,a)$


due vettori v,w sono paralleli se esiste un $beta$ tale che $v=betaw$

nel nostro caso $(4,3,a)=beta(-1,a+2,-a+2)$ e si risolve trovando un valore $a$ che soddisfi la condizione

Spero di averti chiarito i dubbi!

[dissonance]

@giampazero: credo tu abbia sostanzialmente rifatto il ragionamento dell'OP, che in principio è corretto.