Ortogonalita' e perpendicolarita' del vettore direz. in R3
Non sono riuscito a trovare, nonostante le mie ricerche, un passo fondamentale per la comprensione della geometria nello spazio. ovvero la differenziazione fra ortogonalita' e perpendicolarita' in $RR^3$ (in $RR^2$ coincidono).
in $ RR^2$, dato un vettore direzione $ v = (a,b) $ il suo vettore ortogonale (e perpendicolare) e' $ w = (-b,a).
Ma in $RR^3$, dato un vettore $ v = (a,b,c) $,
- com'e' il suo ortogonale?
- com'e' il suo perpendicolare?
in $ RR^2$, dato un vettore direzione $ v = (a,b) $ il suo vettore ortogonale (e perpendicolare) e' $ w = (-b,a).
Ma in $RR^3$, dato un vettore $ v = (a,b,c) $,
- com'e' il suo ortogonale?
- com'e' il suo perpendicolare?
Risposte
E' un vettore $w$ tale che $v*w=0$ dove $v*w$
denota il prodotto scalare di v per w.
denota il prodotto scalare di v per w.
si, ok. questo lo so (grazie comunque 
), senza fare operazioni di questo tipo, si puo' agire direttamente sul vettore? ad esempio per l'ortogonale in $RR^2$ un vettore v(a,b) e' perpendicolare a un vettore w(-b,a).
), senza fare operazioni di questo tipo, si puo' agire direttamente sul vettore? ad esempio per l'ortogonale in $RR^2$ un vettore v(a,b) e' perpendicolare a un vettore w(-b,a).
beh, ovviamente se $v=(a,b,c)$ e $w=(a',b',c')$ (in un riferimento cartesiano ortogonale) la condizione di normalità si scrive
$a*a' + b*b' + c*c' = 0$
non puoi agire sul vettore, anche perché non è unica nemmeno la direzione ortogonale a $v$.
$a*a' + b*b' + c*c' = 0$
non puoi agire sul vettore, anche perché non è unica nemmeno la direzione ortogonale a $v$.
sto andando insieme... in $RR^3$ ortogonalita' e perpendicolarita' sono due concetti differenti, giusto?
e normalita' e' sinonimo di quale dei due?
e normalita' e' sinonimo di quale dei due?
caro hypnotizer,
perpendicolarità ed ortogonalità sono sinonimi.
E anche normalità è sinonimo di entrambi.
Semmai, l'uso di un termine piuttosto che un altro è legato al fatto di usare un linguaggio via via più "evoluto" (o per far vedere che uno sa parlare difficile). In questo senso, il processo da linguaggio volgare (cfr. Dante) a elitario è:
- perpendicolare
- ortogonale
- normale
Ma è sempre la stessa cosa!!!
Aggiungo tre cosine banali a questo thread, ma forse può valere la pena notarle.
1. non c'è una formuletta "comoda comoda" analoga a quella in $R^2$
2. in $R^3$, ad un vettore non nullo ("applicato" nell'origine) è perpendicolare un insieme infinito di vettori ("applicati" nell'origine). In termini geometrici, un vettore non nullo ("applicato" nell'origine) individua una retta passante per l'origine e l'insieme dei vettori ("applicati" nell'origine) che gli sono normali/perpendicolari/ortogonali individua il piano perpendicolare alla retta suddetta
3. smentendo dialetticamente quanto detto al punto 1, c'è una formuletta "comoda comoda". Le coordinate del vettore permettono di individuare immediatamente i "coseni direttori" del piano ad esso perpendicolare
Ciao
perpendicolarità ed ortogonalità sono sinonimi.
E anche normalità è sinonimo di entrambi.
Semmai, l'uso di un termine piuttosto che un altro è legato al fatto di usare un linguaggio via via più "evoluto" (o per far vedere che uno sa parlare difficile). In questo senso, il processo da linguaggio volgare (cfr. Dante) a elitario è:
- perpendicolare
- ortogonale
- normale
Ma è sempre la stessa cosa!!!
Aggiungo tre cosine banali a questo thread, ma forse può valere la pena notarle.
1. non c'è una formuletta "comoda comoda" analoga a quella in $R^2$
2. in $R^3$, ad un vettore non nullo ("applicato" nell'origine) è perpendicolare un insieme infinito di vettori ("applicati" nell'origine). In termini geometrici, un vettore non nullo ("applicato" nell'origine) individua una retta passante per l'origine e l'insieme dei vettori ("applicati" nell'origine) che gli sono normali/perpendicolari/ortogonali individua il piano perpendicolare alla retta suddetta
3. smentendo dialetticamente quanto detto al punto 1, c'è una formuletta "comoda comoda". Le coordinate del vettore permettono di individuare immediatamente i "coseni direttori" del piano ad esso perpendicolare
Ciao
grazie mille del chiarimento!
quindi se ad esempio mi chiedono di trovare un vettore normale a (2,4,6) posso scrivere che (1,1,-1) e' normale a tale vettore, avendo come prodotto scalare 0.
un modo facile facile per scrivere un vettore normale a un altro e' settare due delle coordinate con valori arbitrari e la terza settarla con una semplice equazione. per esempio:
`v = (1,5,8)
voglio un vettore w(x1,y1,z1) normale a v.
assegno due valori arbitrari a x1 e y1.
`x1=2
`y1=3
ora, sapendo che il prodotto scalare deve essere uguale a 0, la situazione e' questa:
`1*2+5*3+8*z1 = 0
quindi
`z1 = (-17)/8
Quindi una retta in $RR^3$ ha infinite rette normali ma un solo piano normale. il punto 3 dell'ultimo intervento non mi e' chiaro, quindi esiste un'equazione che determina qual'e' il piano normale alla retta... ma quale?
poi andando cosi' ad occhio, essendo una retta definita come intersezione fra due piani, quell'equazione mi potrebbe fare comodo, o mi sbaglio?
quindi se ad esempio mi chiedono di trovare un vettore normale a (2,4,6) posso scrivere che (1,1,-1) e' normale a tale vettore, avendo come prodotto scalare 0.
un modo facile facile per scrivere un vettore normale a un altro e' settare due delle coordinate con valori arbitrari e la terza settarla con una semplice equazione. per esempio:
`v = (1,5,8)
voglio un vettore w(x1,y1,z1) normale a v.
assegno due valori arbitrari a x1 e y1.
`x1=2
`y1=3
ora, sapendo che il prodotto scalare deve essere uguale a 0, la situazione e' questa:
`1*2+5*3+8*z1 = 0
quindi
`z1 = (-17)/8
Quindi una retta in $RR^3$ ha infinite rette normali ma un solo piano normale. il punto 3 dell'ultimo intervento non mi e' chiaro, quindi esiste un'equazione che determina qual'e' il piano normale alla retta... ma quale?
poi andando cosi' ad occhio, essendo una retta definita come intersezione fra due piani, quell'equazione mi potrebbe fare comodo, o mi sbaglio?
Ad essere precisi una retta non ha un solo piano normale, ma infiniti piani normali, paralleli fra loro.
Ad esempio la famiglia di piani perpendocolari al vettore $(a, b, c)$ ha equazione: $ax+by+cz=d$, con $d \in \mathbb{R}$.
Poi è chiaro che se $d=0$ il piano trovato è un sottospazio lineare di $mathbb{R}^3$, e più in particolare il complemento ortogonale dello spazio generato da $(a, b, c)$, mentre se $d \ne 0$ il piano determinato è un sottospazio affine di $\mathbb{R}^3$.
Ad esempio la famiglia di piani perpendocolari al vettore $(a, b, c)$ ha equazione: $ax+by+cz=d$, con $d \in \mathbb{R}$.
Poi è chiaro che se $d=0$ il piano trovato è un sottospazio lineare di $mathbb{R}^3$, e più in particolare il complemento ortogonale dello spazio generato da $(a, b, c)$, mentre se $d \ne 0$ il piano determinato è un sottospazio affine di $\mathbb{R}^3$.
"hypnotizer":
quindi se ad esempio mi chiedono di trovare un vettore normale a (2,4,6) posso scrivere che (1,1,-1) e' normale a tale vettore, avendo come prodotto scalare 0.
Sì
"hypnotizer":
un modo facile facile per scrivere un vettore normale a un altro e' settare due delle coordinate con valori arbitrari e la terza settarla con una semplice equazione. per esempio:
`v = (1,5,8)
voglio un vettore w(x1,y1,z1) normale a v.
assegno due valori arbitrari a x1 e y1.
`x1=2
`y1=3
ora, sapendo che il prodotto scalare deve essere uguale a 0, la situazione e' questa:
`1*2+5*3+8*z1 = 0
quindi
`z1 = (-17)/8
non ho controllato i conti, ma l'idea e la procedura sono senz'altro giuste!
Solo un piccolo warning.
Se $v=(1,1,0)$ e assegni $x_1=y_1=1$, hai voglia di cercare $z_1$...
Ma basta che rifletti su quello che hai fatto: stai cercando di risolvere un "sistema" di equazioni lineare ed omogeneo. Dico "sistema", visto che di equazioni ce n'é solo una... Comunque, si applicano le soilte regole (Rouché-Capelli) per la risolubilità di un sistema lineare ed omogeneo. E il mio esempio non a caso riguarda il "sistema":
$ 1 x_1 + 1 y_1 + 0 z_1 = 0$
nel quale non puoi "fissare a piacere" i valori di $x_1$ ed $y_1$.
"hypnotizer":
Quindi una retta in $RR^3$ ha infinite rette normali ma un solo piano normale. il punto 3 dell'ultimo intervento non mi e' chiaro, quindi esiste un'equazione che determina qual'e' il piano normale alla retta... ma quale?
poi andando cosi' ad occhio, essendo una retta definita come intersezione fra due piani, quell'equazione mi potrebbe fare comodo, o mi sbaglio?
L'equazione è facile. Lascia perdere quello che dici relativamente alla retta come intersezione di due piani. Vero, ma non c'entra.
Veniamo all'equazione. E' la cosa più facile che si possa immaginare!!!
Hai un vettore $(a,b,c)$.
La condizione di ortogonalità è:
$ a x + b y + c z = 0$
E questa è l'equazione del piano cercato
assolutamente d'accordo con Tipper!
Io precisavo, infatti, che mi riferivo a vettori "applicati" nell'origine
Ma meglio essere ben espliciti.
Tra l'altro, le considerazioni di Tipper si applicano anche alla parte finale della mia precedente risposta.
L'equazione $a x + b y + c z = 0$ identifica l'unico piano passante per l'origine che è perpendicolare al vettore dato $(a,b,c)$.
Ma ci sono infiniti piani paralleli a questo e perpendicolari ad $(a,b,c)$.
ciao
Io precisavo, infatti, che mi riferivo a vettori "applicati" nell'origine
Ma meglio essere ben espliciti.
Tra l'altro, le considerazioni di Tipper si applicano anche alla parte finale della mia precedente risposta.
L'equazione $a x + b y + c z = 0$ identifica l'unico piano passante per l'origine che è perpendicolare al vettore dato $(a,b,c)$.
Ma ci sono infiniti piani paralleli a questo e perpendicolari ad $(a,b,c)$.
ciao
hypnotizer, forse quello che tu intendevi
dire era che c'era differenza tra ortogonalità
e ortonormalità... Questo è vero.
dire era che c'era differenza tra ortogonalità
e ortonormalità... Questo è vero.
L'equazione ax+by+cz=0 identifica l'unico piano passante per l'origine che è perpendicolare al vettore dato (a,b,c).
Ma ci sono infiniti piani paralleli a questo e perpendicolari ad (a,b,c).
ovvero quel " +d " che compare nell'equazione in forma generale di un piano?
hypnotizer, forse quello che tu intendevi
dire era che c'era differenza tra ortogonalità
e ortonormalità... Questo è vero.
probabilmente ho recepito male una spiegazione del mio prof.
wikipedia mi da il concetto di base ortonormale:
di uno spazio euclideo di dimensione finita è una base composta da vettori a due a due ortogonali e aventi norma 1.
credo di non aver capito.
essendo la retta definita come sistema lineare di due equazioni (di due piani), i vettori dei coefficienti formano una base? in tal caso non mi e' comunque chiaro l'ortogonalita' "a due a due"
Se tu hai una base di vettori $v_1, v_2,... , v_n$, essi si dicono ortogonali a due a due se e solo se: $v_i \cdot v_j = 0$ per $i \ne j$.
Ovvero comunque tu prenda due vettori distinti essi sono ortogonali.
Se inoltre risulta $v_i \cdot v_j = 1$ per $i=j$ allora la base è ortonormale, in quanto da quest'ultima condizione si vede che ogni vettore ha norma pari a $1$.
Ovvero comunque tu prenda due vettori distinti essi sono ortogonali.
Se inoltre risulta $v_i \cdot v_j = 1$ per $i=j$ allora la base è ortonormale, in quanto da quest'ultima condizione si vede che ogni vettore ha norma pari a $1$.
ovvero quel " +d " che compare nell'equazione in forma generale di un piano?
esatto
Ricordo ancora una volta che stiamo parlando di un vettore $(a,b,c)$ diverso da $(0,0,0)$
credo di non aver capito.
essendo la retta definita come sistema lineare di due equazioni (di due piani), i vettori dei coefficienti formano una base? in tal caso non mi e' comunque chiaro l'ortogonalita' "a due a due"
io la vedo così. Senza parlare di rette e piani.
Hai un insieme di vettori $v_1, \ldots, v_k$ in $R^n$ (o, più generalmente, in uno spazio euclideo). Essi sono ortogonali fra loro se il prodotto scalare fra $v_i$ e $v_j$ è zero per ogni $i,j \in {1,\ldots,k}$.
Se poi hanno tutti "lunghezza" 1, cioè se $v_i \cdot v_i = 1$ per ogni $i \in {1,\ldots,k}$, hai una famiglia ortonormale di vettori.
Se servisse, vale la pena di osservare che una famiglia ortonormale di vettori è anche una "parte libera" dello spazio vettoriale cui appartengono (detto "in volgare": sono linearmente indipendenti). Stessa cosa vale per una famiglia di vettori a due a due ortogonali fra loro (sempre che siano tutti non nulli!).
Se siamo in $R^n$ (o, più in generale, in uno spazio euclideo di dimensione $n$), e $k=n$, allora la famigliola ortonormale è una base per lo spazio vettoriale.
ciao e felice sabato...
ok, tutto chiaro, grazie 1000 a tutti!!!
buon weekend anche a te
ciao e felice sabato...
buon weekend anche a te
Tra l'altro, le considerazioni di Tipper si applicano anche alla parte finale della mia precedente risposta.
L'equazione ax+by+cz=0 identifica l'unico piano passante per l'origine che è perpendicolare al vettore dato (a,b,c).
Ma ci sono infiniti piani paralleli a questo e perpendicolari ad (a,b,c).
rileggendo questo mi e' venuta un'intuizione ulteriore (logicamente non e' detto che sia giusta
)se ho quindi una retta
`{(x=x0+at),(y=y0+bt),(z=z0+ct):}
il vettore direzione della retta e' quindi $ (a,b,c) $
e mi si chiede di controllare che la retta appartenga ad un piano di equazione $ px+qy+rz=0 $, io posso prendre il piano perpendicolare alla retta (quindi ax+by+cz=0), ed eseguire il prodotto scalare fra i due piani, in modo che se il prodotto scalare tra (a,b,c) e (p,q,r) viene 0 io possa affermare che la retta appartiene a quel piano?
Sì, fai $((a),(b),(c))*((p),(q),(r))$ e controlla se ti viene 0 o no. Se sì, allora la retta appartiene al piano,
perché il suo vettore direzionale appartiene al piano.
perché il suo vettore direzionale appartiene al piano.
di conseguenza, dato un punto che appartiene alla retta, appartiene anche al piano, quindi mi basta controllare l'appartenenza della retta al piano. (correggetemi se sbaglio).
A dire il vero i tre termini in questione non sono del tutto sinonimi
(benche',con l'uso,lo siano poi diventati).
Per quello che ne so ,si ha che:
1)Il termine "perpendicolare" e' usato per indicare la " perpendicolarita' "
di 2 enti geometrici della stessa specie (cioe' 2 rette o 2 piani) che abbiano
un elemento in comune (un punto per le rette,una retta per i piani)
2) Il termine "normale" e' usato per indicare la " perpendicolarita' " tra retta e piano
(che abbiano,ovviamente, un punto in comune)
3)Il termine "ortogonale " e' usato per indicare la " perpendicolarita' " tra 2 rette
che non abbiano nessun punto in comune,tali cioe' che non esista nessun piano
che le contenga.
karl
(benche',con l'uso,lo siano poi diventati).
Per quello che ne so ,si ha che:
1)Il termine "perpendicolare" e' usato per indicare la " perpendicolarita' "
di 2 enti geometrici della stessa specie (cioe' 2 rette o 2 piani) che abbiano
un elemento in comune (un punto per le rette,una retta per i piani)
2) Il termine "normale" e' usato per indicare la " perpendicolarita' " tra retta e piano
(che abbiano,ovviamente, un punto in comune)
3)Il termine "ortogonale " e' usato per indicare la " perpendicolarita' " tra 2 rette
che non abbiano nessun punto in comune,tali cioe' che non esista nessun piano
che le contenga.
karl
ottimo, allora deduco che anche all'universita' i prof ci insegnano moooolto bene
Grazie Karl, non sapevo quelle particolarità!
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