Ortogonalita' e perpendicolarita' del vettore direz. in R3
Non sono riuscito a trovare, nonostante le mie ricerche, un passo fondamentale per la comprensione della geometria nello spazio. ovvero la differenziazione fra ortogonalita' e perpendicolarita' in $RR^3$ (in $RR^2$ coincidono).
in $ RR^2$, dato un vettore direzione $ v = (a,b) $ il suo vettore ortogonale (e perpendicolare) e' $ w = (-b,a).
Ma in $RR^3$, dato un vettore $ v = (a,b,c) $,
- com'e' il suo ortogonale?
- com'e' il suo perpendicolare?
in $ RR^2$, dato un vettore direzione $ v = (a,b) $ il suo vettore ortogonale (e perpendicolare) e' $ w = (-b,a).
Ma in $RR^3$, dato un vettore $ v = (a,b,c) $,
- com'e' il suo ortogonale?
- com'e' il suo perpendicolare?
Risposte
Mah, forse linguisticamente ortogonalità, perpendicolarità e normalità avranno diverse aree di uso, ma dal punto di vista matematico sono tutti sinonimi, non c'è alcuna differenza.
quindi il concetto di "perpendicolari" può essere esteso anche al caso in cui si consideri un prodotto scalare diverso da quello di $RR^n$? sicché in $L^2(0,2pi)$ possiamo dire che $sint$ e $cost$ sono "perpendicolari"?
Certamente; ricorda che "La Poesia è l'arte di dare nomi diversi alla stessa cosa, mentre la Matematica è l'arte di dare lo stesso nome a cose diverse".
"Luca.Lussardi":
Certamente; ricorda che "La Poesia è l'arte di dare nomi diversi alla stessa cosa, mentre la Matematica è l'arte di dare lo stesso nome a cose diverse".
Sara' come dice Luca ma aggiungo che:
Personalmente non parlerei mai a ragazzi di media o (peggio) di scuole
primarie di "rette di un piano ortogonali" invece di "rette perpendicolari".
E come dovremmo chiamare due rette sghembe aventi direzioni perpendicolari?
"Perpendicolari" anche questa volta ?
Ci dovra' pur essere un modo per distinguere le due situazioni...
Una retta e' detta normale ad un piano se incontra il piano in un punto
ed e' "perpendicolare" (adesso ci sta bene !) a tutte le rette del piano per quel punto.
Si tratta circostanze geometriche diverse dalla semplice perpendicolarita' di
due rette complanari .Non trovate ? E perche non dargli un nome diverso?
E cosi' via ,credo che possa allungarsi l'elenco dei casi in cui il termine
"ortogonale" (o "normale" ) sia piu' appropriato di "perpendicolare" che
appare a volte addirittura umoristico.
Quanto poi alla definizione di "Matematica come scienza capace di dare lo stesso nome a cose diverse" mi pare che sia una conferma di quanto vado asserendo:
almeno nel nostro caso,si tratta proprio di cose diverse e dunque diamogli un nome diverso!!
Naturalmente ,ad un piu' alto livello di astrazione,si possono considerare i 3 termini come sinonimi ,al piu' ci si perdera' un po' in precisione ma ci si guadagna in comodita' se e' questo che si desidera.
karl
Personalmente non parlerei mai a ragazzi di media o (peggio) di scuole
primarie di "rette di un piano ortogonali" invece di "rette perpendicolari".
E come dovremmo chiamare due rette sghembe aventi direzioni perpendicolari?
"Perpendicolari" anche questa volta ?
Ci dovra' pur essere un modo per distinguere le due situazioni...
Una retta e' detta normale ad un piano se incontra il piano in un punto
ed e' "perpendicolare" (adesso ci sta bene !) a tutte le rette del piano per quel punto.
Si tratta circostanze geometriche diverse dalla semplice perpendicolarita' di
due rette complanari .Non trovate ? E perche non dargli un nome diverso?
E cosi' via ,credo che possa allungarsi l'elenco dei casi in cui il termine
"ortogonale" (o "normale" ) sia piu' appropriato di "perpendicolare" che
appare a volte addirittura umoristico.
Quanto poi alla definizione di "Matematica come scienza capace di dare lo stesso nome a cose diverse" mi pare che sia una conferma di quanto vado asserendo:
almeno nel nostro caso,si tratta proprio di cose diverse e dunque diamogli un nome diverso!!
Naturalmente ,ad un piu' alto livello di astrazione,si possono considerare i 3 termini come sinonimi ,al piu' ci si perdera' un po' in precisione ma ci si guadagna in comodita' se e' questo che si desidera.
karl
Non per essere pedissequo, ma io alle medie e alle superiori ho sempre sentito "ortogonale" dai miei professori; non hanno mai usato perpendicolare, benchè sui libri ci fosse.
@Luca
Sei proprio un fortunato...
Un sondaggio sul Forum per vedere quanti sono quelli
che alle scuole elementari o alle medie hanno sentito parlare di "rette
ortogonali" invece del piu' familiare " rette perpendicolari" ,quali risultati darebbe?
Partendo da un presupposto di sincerita' da parte dei partecipanti
dovrei vincere "a redini basse" (termine mutuato dalle corse dei cavalli
di cui ero un appassionato)."Ero" perche' con l'attuale governo e' meglio tenersi
qualche soldo per i tempi tristi !!!
karl
Sei proprio un fortunato...
Un sondaggio sul Forum per vedere quanti sono quelli
che alle scuole elementari o alle medie hanno sentito parlare di "rette
ortogonali" invece del piu' familiare " rette perpendicolari" ,quali risultati darebbe?
Partendo da un presupposto di sincerita' da parte dei partecipanti
dovrei vincere "a redini basse" (termine mutuato dalle corse dei cavalli
di cui ero un appassionato)."Ero" perche' con l'attuale governo e' meglio tenersi
qualche soldo per i tempi tristi !!!
karl
Hai ragione, non credo che vincerebbe l'ortogonalità.
Per altro vado molto fiero di aver fatto benissimo la Geometria euclidea a scuola, soprattutto nella scuola superiore, dove avevo un'insegnante alla quale piaceva moltissimo.
Per altro vado molto fiero di aver fatto benissimo la Geometria euclidea a scuola, soprattutto nella scuola superiore, dove avevo un'insegnante alla quale piaceva moltissimo.
la passione, quella cosa che ti permette di capire e far capire agli altri... quella cosa che trasmette interesse anche agli altri... quella cosa che pochissimi professori hanno... specie alle superiori.
in 5 anni di superiori di geometria ci hanno fatto fare si' e no parabole e pitagora, con tre formulette imparate a memoria e basta.
uno schifo.
in 5 anni di superiori di geometria ci hanno fatto fare si' e no parabole e pitagora, con tre formulette imparate a memoria e basta.
uno schifo.
E' vero, oggi è fatta malissimo nella maggioranza delle scuole, ed è una vergogna.
karl ha ragione, almeno nel mio caso... sono venuto a conoscenza del significato dei termini "ortogonale" e "normale" sì durante il periodo del liceo, ma l'illuminazione non è venuta dalla bocca di un mio professore bensì da fonti esterne. tra l'altro ricordo che alle scuole medie (e in parte al liceo) si facevano durante le ore di disegno le fantomatiche "proiezioni ortogonali", ma nessun professore ha mai spiegato cose volesse dire il termine "ortogonale"...
ora che ci penso c'è qualche nesso tra le consuete proiezioni ortogonali di solidi geometrici relativamente ai piani orizzontale/verticale/laterale e la serie di fourier? magari scegliendo come sistema ortonormale la base canonica di $RR^3$...
ora che ci penso c'è qualche nesso tra le consuete proiezioni ortogonali di solidi geometrici relativamente ai piani orizzontale/verticale/laterale e la serie di fourier? magari scegliendo come sistema ortonormale la base canonica di $RR^3$...
Certo, la serie di Fourier ha come coefficienti le proiezioni ortogonali della funzione da sviluppare sugli infiniti assi del sistema ortonormale completo.
E cosa è l'uguaglianza di Bessel? Il Teorema di Pitagora..
E cosa è l'uguaglianza di Bessel? Il Teorema di Pitagora..
"Luca.Lussardi":
Certo, la serie di Fourier ha come coefficienti le proiezioni ortogonali della funzione da sviluppare sugli infiniti assi del sistema ortonormale completo.
E cosa è l'uguaglianza di Bessel? Il Teorema di Pitagora..
già... dunque fissato un sistema ortonormale $S=(x_1,x_2,...,x_n)$ e un vettore $x(t)=sum_k c_k x_k$ allora i coefficienti $c_k$ sono le proiezioni ortogonali di $x(t)$ sullo spazio generato dall'elemento k-esimo del sistema $S$?
ciò vale sia se $S$ è finitamente generato che infinitamente generato?
$x(t)$ deve essere in uno spazio di Hilbert?
Proprio così, modulo il fatto che nel caso infinito ci vuole la struttura hilbertiana.
grazie della delucidazione... permettimi un'altra curiosità: se tronchiamo la serie di fourier di un vettore ai primi $m in NN$ termini è giusto dire che tale somma parziale è la proiezione ortogonale di $x(t)$ sullo spazio generato non da un singolo $x_k$ bensì dal sistema $S'=(s_1,s_2,...,s_m)$?
Credo proprio di sì, andrebbe verificato con cura ma mi sembra ragionevole.
@Kroldar
si
Tra l'altro questa idea sta alla base della approssimazione di problemi "complicati", nel senso che la loro formulazione è data all'interno di spazi vettoriali di dimensione infinita, mediante problemi in dimensione finita. Si parla, in ottimizzazione, di metodo di Ritz.
ciao
si
Tra l'altro questa idea sta alla base della approssimazione di problemi "complicati", nel senso che la loro formulazione è data all'interno di spazi vettoriali di dimensione infinita, mediante problemi in dimensione finita. Si parla, in ottimizzazione, di metodo di Ritz.
ciao
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo