Orientamento spazio affine
Ho dei problemi nel capire l'orientamento nel piano..nn capisco quanti tipi di basi positive ci sono e soprattuto come vanno "rappresentate" graficamente..potreste darmi una lucidata?
Risposte
due basi nel piano si dicono positivamente orientate se la matrice di combiamento di base che fa passare da una all'altra ha determinante positivo.
nn capisco cosa intendi quando dici "come vanno rappresentate".
nn capisco cosa intendi quando dici "come vanno rappresentate".
per prima cosa volevo dire nello spazio..scusa! rappresentate cioe disegnate queste terne positive e nahc equelle negative..
stessa cosa in qualsiasi dimensione. il determinante della matrice che ti fa passare da una base all'altra è positivo.
mi potresti fare un esempio numerico?
prendi ad esempio nello spazio la base canonica e la base costituita dai vettori
$v_1=(2,0,-1)$ $v_2=(1,1,0)$ $v_3=(1,1,1)$
se ti calcoli la matrice del cambiamento di base da una all'altra (cosa mooooolto facile) vedrai che il suo determinante è positivo.
$v_1=(2,0,-1)$ $v_2=(1,1,0)$ $v_3=(1,1,1)$
se ti calcoli la matrice del cambiamento di base da una all'altra (cosa mooooolto facile) vedrai che il suo determinante è positivo.
Questo fatto dell'orientazione è collegato, se non mi sbaglio, ai cosiddetti "volumi con segno". Prendiamo ad esempio $RR^3$. Se definiamo il volume orientato (o con segno) di un parallelepipedo (avente un vertice nell'origine) di spigoli $v_1, v_2, v_3$ come $det [v_1, v_2, v_3]$, allora nel passaggio dalla base canonica ad un'altra base ortonormale con la stessa orientazione il volume del parallelepipedo resterà invariato.
Difatti se la matrice del cambiamento di coordinate (dalla nuova base nella vecchia, quella canonica) è $M$, questa è una matrice ortogonale e, visto che l'orientazione non cambia, $detM=1$. Ora chiamiamo $w_1, w_2, w_3$ gli spigoli del parallelepipedo nella nuova base ($v_1=Mw_1, v_2=Mw_2, v_3=Mw_3$): risulta che la matrice $[v_1, v_2, v_3]$ è uguale a $M[w_1, w_2, w_3]$ e quindi che $det[v_1, v_2, v_3]=det[w_1, w_2, w_3]$. Ovvero, nel passaggio da una base all'altra non abbiamo alterato il volume dei parallepipedi. Diversamente, se fossimo passati ad una base orientata discordemente, i volumi avrebbero cambiato segno.
Non so se sono stato abbastanza chiaro, ho detto tutto un po' alla buona.
Difatti se la matrice del cambiamento di coordinate (dalla nuova base nella vecchia, quella canonica) è $M$, questa è una matrice ortogonale e, visto che l'orientazione non cambia, $detM=1$. Ora chiamiamo $w_1, w_2, w_3$ gli spigoli del parallelepipedo nella nuova base ($v_1=Mw_1, v_2=Mw_2, v_3=Mw_3$): risulta che la matrice $[v_1, v_2, v_3]$ è uguale a $M[w_1, w_2, w_3]$ e quindi che $det[v_1, v_2, v_3]=det[w_1, w_2, w_3]$. Ovvero, nel passaggio da una base all'altra non abbiamo alterato il volume dei parallepipedi. Diversamente, se fossimo passati ad una base orientata discordemente, i volumi avrebbero cambiato segno.
Non so se sono stato abbastanza chiaro, ho detto tutto un po' alla buona.
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