Operatori e Matrici Hermitiani

[scarpma]

Volevo sapere come si può dimostrare (sempre se è vero), che se ho un operatore hermitiano $T$, ovvero tale per cui
$$
\langle T(v_1), v_2 \rangle = \langle v_1, T(v_2) \rangle
$$
allora
$$
A_{ij} = \overline{A}_{ji}
$$
dove $A$ è la matrice rappresentativa di $T$ rispetto alla base canonica e $\overline{A}$ è la coniugata di $A$.

Io ho provato iniziando così:
$$
\langle T(v_1), v_2 \rangle = (Av_1)^T S\bar{v}_2 = (v_1)^TS\overline{(Av_2)} = \langle v_1, T(v_2) \rangle
$$
dove $S$ è la matrice rappresentativa del prodotto scalare canonico rispetto alla base canonica, ovvero $S_{ij} = \delta_{ij}$.
A questo punto vorrei trasformare le due uguaglianze al centro, ma non so bene come fare.

[cooper1]

ciao a me sembra tu voglia dimostrare un teorema più generale e con ipotesi un po' meno restrittive, ovvero:

sia $(V, <,>)$ uno spazio euclideo di dimensione finita e sia $T in L(V)$. allora esiste ed è unico $T^(star) in L(V)$ aggiunto di T. Inoltre se rispetto ad una base o.n. {e_i} di V, $A_T$ matrice rappresentativa di T, allora rispetto alla stessa base hai che la matrice rappresentativa dell'aggiunto vale $A_(T^(star))=(barA_T)^(t)$

lasciando perdere la parte che non ti interessa abbiamo che: $Te_i =sum_(j=1)^(n)(A_T)_(ji)e_j$ dove $dimV=n$
inoltre poichè la base è o.n. sappiamo anche che $ =sum_k <(A_T)_(ki)e_k,e_j> =sum_k(A_T)_(ki)delta_(kj)=(A_T)_(ji)$
analogamente hai un'espressione simile per l'aggiunto.
Dunque:
$(A_(T^(star)))_(ji)= =bar() =bar() =bar( (A_T)_(ij) ) =bar((A_T) _(ji)^(t))=(A_(T^(star)))_(ji)$

[scarpma]

Grazie mille, ho risolto.