Operatore trasposto
Ho un esercizio che non riesco a capire come svolgere:
Sia G = $ ( (2,1) , (1,2) ) $ e sia g il prodotto scalare su R2 g(X,Y)= $ Tr( traspostaXGY) $; sia f appartenente a End(R2) definito da f(X) = $XG^-1$
Determinare l'operatore trasposto di f rispetto a g
Come devo fare? Ho capito che devo usare la formula $ B= G^-1MG $ , ma come collego il prodotto scalare? Grazie per l'aiuto!
Oddio scusami!!!!
Sia G = $ ( (2,1) , (1,2) ) $ e sia g il prodotto scalare su R2 g(X,Y)= $ Tr( traspostaXGY) $; sia f appartenente a End(R2) definito da f(X) = $XG^-1$
Determinare l'operatore trasposto di f rispetto a g
Come devo fare? Ho capito che devo usare la formula $ B= G^-1MG $ , ma come collego il prodotto scalare? Grazie per l'aiuto!
Oddio scusami!!!!
Risposte
Potresti correggere la formattazione?....
"j18eos":
Potresti correggere la formattazione?....
Fatto! Scusami tanto, cerco ancora di capire
Ma figurati; non avevo letto che sei nuova... Benvenuta! 
Questo esercizio si risolve applicando innanzi tutto le definizioni.
Questo esercizio si risolve applicando innanzi tutto le definizioni.
"j18eos":
Ma figurati; non avevo letto che sei nuova... Benvenuta!
Questo esercizio si risolve applicando innanzi tutto le definizioni.
mentre la seconda parte dell'esercizio mi è molto più chiara perchè chiede autovalori, autovettori e diagonalizzabilità
La definizione è:
\[
\forall X,Y\in\mathbb{R}^2,\,g(f^T(X),Y)=g(X,f(Y))
\]
... come continui?
\[
\forall X,Y\in\mathbb{R}^2,\,g(f^T(X),Y)=g(X,f(Y))
\]
... come continui?
Parto dal presupposto che il concetto di operatore trasposto non mi è chiaro.. comunque
$ (G^-1MG , Y) = tr(^tXGY) $
$ (G^-1MG , Y) = tr(^tXGY) $
Ti ho scritto la definizione di operatore aggiunto. Tu che hai scritto? 
Scusa, sto impazzendo perchè questo non vuole proprio entrarmi in testa e non riesco a capirlo. Allora:
$ g( XG^-1,Y) = g(X, (f(Y))^T) $
$ tr ( ((XG^-1)^T, Y) = tr ( (X^T)((G^-1)^T),Y) $
Può essere? (Ci ho messo i dati del mio esercizio)
$ g( XG^-1,Y) = g(X, (f(Y))^T) $
$ tr ( ((XG^-1)^T, Y) = tr ( (X^T)((G^-1)^T),Y) $
Può essere? (Ci ho messo i dati del mio esercizio)
Calma, manca un passaggio!
Allora, detto \(\displaystyle f^T\) l'operatore trasposto, per definizione di operatore trasposto:
\[
\forall X,Y\in\mathbb{R}^2,\,g(f(X),Y)=g(X,f^T(Y))
\]
applichi la definizione di \(\displaystyle f\):
\[
g(X,f^T(Y))=g(XG^{-1},Y)
\]
e poi la definizione di \(\displaystyle g\):
\[
Tr(X^TGf^T(Y))=Tr((XG^{-1})^TGY)=Tr((G^{-1})^TX^TGY)
\]
usando la proprietà ciclica della traccia:
\[
Tr(X^TGf^T(Y))=Tr((G^{-1})^TX^TGY)=Tr(X^TGY(G^{-1})^T)
\]
...
Allora, detto \(\displaystyle f^T\) l'operatore trasposto, per definizione di operatore trasposto:
\[
\forall X,Y\in\mathbb{R}^2,\,g(f(X),Y)=g(X,f^T(Y))
\]
applichi la definizione di \(\displaystyle f\):
\[
g(X,f^T(Y))=g(XG^{-1},Y)
\]
e poi la definizione di \(\displaystyle g\):
\[
Tr(X^TGf^T(Y))=Tr((XG^{-1})^TGY)=Tr((G^{-1})^TX^TGY)
\]
usando la proprietà ciclica della traccia:
\[
Tr(X^TGf^T(Y))=Tr((G^{-1})^TX^TGY)=Tr(X^TGY(G^{-1})^T)
\]
...
Ok, ci sono fin dove sei arrivato..
Però , dopo $ tr(X^TGY(G^-1)^T) $ ho un dubbio... $ tr(X^TGY(G^-1)^T) = tr(X^T F^T(Y)) $ ???
Però , dopo $ tr(X^TGY(G^-1)^T) $ ho un dubbio... $ tr(X^TGY(G^-1)^T) = tr(X^T F^T(Y)) $ ???
A parte che hai dimenticato di trascrivere una \(\displaystyle G\); ma hai letto tutto?
Si! Ci ho messo un pochino per capirlo, stamattina ho fatto quello perchè ieri sera non connettevo più.. Mi sfuggono solo i passaggi finali..
Grazie per la pazienza, dovrei erigerti un monumento!
Grazie per la pazienza, dovrei erigerti un monumento!
Io non capisco in cosa ti perdi; si parte dalla definizione di operatore trasposto, quindi è ovvio che alla fine compaia un'eguaglianza che lo coinvolga; non è che lo buttiamo o lo si perde per la via...
Ho aspettato un po' per vedere se riuscivo a capire da sola, però non riesco davvero a mettere insieme le informazioni che mi hai dato...
Puoi cercare di spiegarmi?
Puoi cercare di spiegarmi?
Non piagere su...
Ti sono chiare le definizioni di prodotto scalare e di opetarore trasposto (rispetto a un dato prodotto scalare)?
Ti sono chiare le definizioni di prodotto scalare e di opetarore trasposto (rispetto a un dato prodotto scalare)?
HO capito la definizione di traccia e prodotto scalare, ma non riesco a collegare l'operatore trasposto col prodotto scalare! (che è il passaggio fondamentale)
Il concetto di operatore trasposto, richiede e usa il concetto di prodotto scalare.
Se \(\displaystyle f\) è un endomorfismo lineare di \(\displaystyle\mathbb{V}\) spazio vettoriale reale, se \(\displaystyle s\) è un prodotto scalare su \(\displaystyle\mathbb{V}\); si definisce endomorfismo trasposto \(\displaystyle f^T\) di \(\displaystyle f\) rispetto ad \(\displaystyle s\), l'endomorfismo lineare di \(\displaystyle\mathbb{V}\) tale che:
\[
\forall v,w\in\mathbb{V},\,s\left(f(v),w\right)=s\left(v,f^T(w)\right).
\]
Se \(\displaystyle f\) è un endomorfismo lineare di \(\displaystyle\mathbb{V}\) spazio vettoriale reale, se \(\displaystyle s\) è un prodotto scalare su \(\displaystyle\mathbb{V}\); si definisce endomorfismo trasposto \(\displaystyle f^T\) di \(\displaystyle f\) rispetto ad \(\displaystyle s\), l'endomorfismo lineare di \(\displaystyle\mathbb{V}\) tale che:
\[
\forall v,w\in\mathbb{V},\,s\left(f(v),w\right)=s\left(v,f^T(w)\right).
\]
Si questo è il concetto teorico, ma non riesco ad applicarlo negli esercizi, come per esempio quello che ho proposto
Ma che differenza c'è tra teoria e pratica? Tu devi calcolare \(\displaystyle f^T\)...
"j18eos":
Ma che differenza c'è tra teoria e pratica? Tu devi calcolare \(\displaystyle f^T\)...
Mi sono presa un po' di tempo per pensarci.. Dunque, torna che, dato che $ tr(X^TGF^T(Y)) = tr(X^TGY(G^-1)^T) $ viene
$f^T(Y) = Y(G^-1)^T $ ???
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