Operatore proiezione ortogonale

[mae1]

Ciao a tutti!
Qualcuno può illuminarmi sulla risoluzione di questo esercizio?

Sia $ f:R^3rarr R^3 $ la proiezione ortogonale sul piano $ pi : x + y = 0 $ , dove $ R^3 $ è il 3 - spazio numerico reale euclideo dotato del prodotto scalare standard.
1) Trovare $ N(f) $ e $ Im(f) $ ed una loro base
2) Provare che $ R^3=N(f)o+ Im (f) $

grazie $ oo $

[stenford]

$dir (\pi): <[(1),(-1),(0)],[(0),(0),(1)]>$
1) $N(f)$ è rappresentato da tutti quei punti che proiettati sul piano vanno nel punto $0$, perciò tutti i punti che stanno sulla retta passante per $0$ e ortogonale al piano(hai le due direzioni, trovi la terza ortogonale).
Im(f) è ovviamente il piano in quanto lo spazio viene proiettato sul piano
2) $dim(N(f)^^Im(f))=dim{[(0),(0),(0)]}=0$ perciò per grassman $dim(N(f)+Im(f))=dim(N(f))+dim(Im(f))=3=dim(R^3)->N(f)o+Im(f)=R^3$

[mae1]

Grazie davvero!!!! Mi fila
Il prof come input mi aveva dato il teo di decomposizione ortogonale: $ V= W o+ W^_|_ $ ....ma onestamente non sono riuscita a seguirlo..

[stenford]

beh se ci pensi è la stessa cosa.
$Imm(f)$ è il piano
$N(f)$ è una retta ortogonale che interseca il piano in un punto

[mae1]

Eh....si..... è evidente (a posteriori )
Grazie davvero