Operatore lineare

[livrea]

ciao a tutti so dalla teoria che un operatore F : V-->W si dice LINEARE se per ogni coppia di vettori v1 e v2 in V e per ogni coppia di scalari a,b si ha che:
F(a v1 + b v2) = a F(v1) + b F(v2)

adesso devo dimostrare se f(x)= x+2 è LINEARE qualcuno può spiegarmi passo passo come fare?

[orazioster]

usa la definizione.

se moltiplichi $x$ per uno scalare, quale è l'immagine?

[livrea]

"orazioster":usa la definizione.

se moltiplichi $x$ per uno scalare, quale è l'immagine?

scusa ma non ho capito potresti mostrarmi tutti i passaggi?

[Zurzaza]

Come hai detto tu \(\displaystyle f(\alpha x)=\alpha f(x),\alpha\in\mathbb{R},x\in V \)
Ora, in questo caso la tua funzione è "x+2", quindi scopri che la tua funzione non soddisfa la proprietà di linearità:
\(\displaystyle f(\alpha x)=(\alpha x+2)\neq\alpha f(x)=\alpha(x+2) \)

[livrea]

ok. ma se ho due variabili tipo: f(x,y)=x+y
come si procede?

[5mrkv]

Se intendi una applicazione bilineare allora la linearità deve essere verificata su ogni variabile. Ad esempio per la prima:
\[L(\alpha x+\beta y,z)=\alpha L(x,z)+\beta L(y,z)\]
Se intendi la verifica di
\[L(x+y)=L(x)+L(y)\]
allora come ti hanno fatto notare, avendo una funzione \(L(v)\), da devi:

[*:278gy1bq] Sostituire una prima volta la \(v\) con la \(x\) ottenendo \(L(x)\).[/*:m:278gy1bq]
[*:278gy1bq] Sostituire una seconda volta la \(v\) con la \(y\) e sommare \(L(y)\) con \(L(x)\).[/*:m:278gy1bq]
[*:278gy1bq] Sostituire un'ultima volta \(v\) con \(x+y\) ed esplicitando i calcoli verificare che l'espressione ottenuta coincida con la somma \(L(x)+L(y)\).[/*:m:278gy1bq][/list:u:278gy1bq]