Omotopie libere e "puntate" in S1

[maikkk1]

Ciao a tutti! Mi sono imbattuto in un esercizio di topologia algebrica che non riesco bene ad interpretare in quanto la consegna è molto compatta:
Show that, for self-maps of $S^1$, free and based homotopies are the same.

Secondo voi come dovrei interpretarlo? Nel senso più stretto della cosa non ci vedo tanto senso.. anche perchè in linea di principio una volta si quozienta lo spazio dei cammini con punto base $C((S^1, x_0); (S^1, x_0))$ mentre per le free homotopies si quozienta tutto lo spazio dei cammini $C(S^1; S^1)$

Grazie in anticipo!!

[coffee2]

Ciao! Io lo interpreto così: dato che esiste una inclusione banale $i:C((S^1,x_0);(S^1,x_0))\to C(S^1;S^1)$, si tratta di mostrare che questa $i$ induce in modo naturale, commutando con le omotopie, una mappa $\tilde i:\pi_1(S^1,x_0)\to\pi_1(S^1)$ (*) che è una bigezione (e un isomorfismo di gruppi (topologici)).

(*) Indico con $\pi_1(S^1)$ il quoziente di $C(S^1;S^1)$ rispetto alla relazione di omotopia "libera" ma non so se sia una notazione standard