Omotopia

[streghettaalice]

Devo dimostrare che un insieme $A$ stellato rispetto a $x_0$ sia anche semplicemente connesso.
Allora ho pensato di creare la curva $ H(t,s)= x_0+ (1-s)( \phi(t) - x_0$ ), con $\phi(t) in A$ e con $H$che ha immagine in $A$ poichè è stellato .
Va bene come ragionamento?

[lordb]

Io farei così:

Supponiamo per assurdo che $A$ sia stellato rispetto a $x_0$ e sconnesso.

Dato che $A$ è sconnesso possiamo supporlo scomposto in almeno 2 "pezzi": $E$ e $Omega$ $|$ $EnnOmega={}$ e $EuuOmega=A$.

Supponiamo $x_0inE$ e prendiamo $zinOmega$ (o vice versa).

Allora è evidente che $[x_0,z]notsubA$ e questo contraddice l'ipotesi che sia stellato.

[maurer]

Semplicemente connesso è diverso da connesso! Che stellato implichi connesso è ovvio, visto che implica (banalmente!) connesso per archi. La semplice connessione è conseguenza del fatto che lo stellato implica pure contraibile! Scrivo dal telefono, quindi non entro in dettagli. Eventualmente sarò più preciso dopo.

[streghettaalice]

infatti quello che scrive lordb non va bene.
Ho preso quella curva e vorrei sapere se va bene cioè se verifica l'omotopia e quindi l' insieme $A$ è semplicemente connesso..

[yellow2]

Si', va bene.
Si puo' scrivere anche nella forma $H(t,s)=(1-s)phi(t)+sx_0$, che forse è più utilizzata (osservazione abbastanza inutile lo so, ma cosi' se vedi qualcosa di simile riconosci al volo di cosa si tratta!)

[maurer]

Yes, confermo. Prima non vedevo le formule, dal cellulare!

[lordb]

ah si scusate non avevo letto bene !