Omotetie: corrispondenze biunivoche
Buonasera a tutti!
Sto studiando geometria affine e mi sono imbattuto nella definizione (facile!) di omotetia:
Definizione: Sia assegnato uno spazio affine $A$ con $K$-spazio vettoriale $V$ associato. Sia $cinK$, con $c!=0$; si definisce omotetia di centro $O$ e fattore $c$ la funzione $omega_(O,c)$ tale che: $omega_(O,c):A->A$ e se $P inA$, $omega_(O,c)(P)=P'$ con $P'$ tale che: $vec{OP'}=c*vec{OP}=vec{Oomega_(O,c)(P)}$.
Devo provare che le omotetie sono applicazioni iniettive e suriettive. Tuttavia non so come partire sfruttando la definizione prima scritta ed il concetto di isomorfismo affine (o affinità).
Avreste qualche suggerimento?
Vi ringrazio anticipatamente per le risposte.
Sto studiando geometria affine e mi sono imbattuto nella definizione (facile!) di omotetia:
Definizione: Sia assegnato uno spazio affine $A$ con $K$-spazio vettoriale $V$ associato. Sia $cinK$, con $c!=0$; si definisce omotetia di centro $O$ e fattore $c$ la funzione $omega_(O,c)$ tale che: $omega_(O,c):A->A$ e se $P inA$, $omega_(O,c)(P)=P'$ con $P'$ tale che: $vec{OP'}=c*vec{OP}=vec{Oomega_(O,c)(P)}$.
Devo provare che le omotetie sono applicazioni iniettive e suriettive. Tuttavia non so come partire sfruttando la definizione prima scritta ed il concetto di isomorfismo affine (o affinità).
Avreste qualche suggerimento?
Vi ringrazio anticipatamente per le risposte.
Risposte
Sia $omega$ l'omotetia di centro $O$ e fattore $c$, cioè $omega=omega_{O,c}$, con $c!=0$.
Iniettività:
Siano $P,Q\in A$ tale che
(*) $omega(P)=omega(Q)$.
Per dimostrare che $P=Q$ puoi provare equivalentemente che $OP=OQ$. Per fare ciò usa la definizione di omotetia e l'ipotesi (*).
Suriettività:
Prendi un punto $P'\in A$. Devi trovare un punto $P\in A$ tale che $omega(P)=P'$, cioè tale che (sfruttando la definizione di $omega$) $OP'=c\cdot OP$.
Quale sarà questo punto?
Iniettività:
Siano $P,Q\in A$ tale che
(*) $omega(P)=omega(Q)$.
Per dimostrare che $P=Q$ puoi provare equivalentemente che $OP=OQ$. Per fare ciò usa la definizione di omotetia e l'ipotesi (*).
Suriettività:
Prendi un punto $P'\in A$. Devi trovare un punto $P\in A$ tale che $omega(P)=P'$, cioè tale che (sfruttando la definizione di $omega$) $OP'=c\cdot OP$.
Quale sarà questo punto?
Vedo di portare a termine la dimostrazione:
Iniettività:
Si prova che $OP=OQ$. A norma di definizione $omega_(O,c)(P)=omega_(O,c)(Q)=T$, con $T$ tale che: $vec{OT}=c*vec{OP}$ e anche $vec{OT}=c*vec{OQ}$. Da tali relazioni si trae $vec{OT}=c*vec{OP}=c*vec{OQ} rArr c*vec{OP}=c*vec{OQ} rArr vec{OP}=vec{OQ} rArr P=Q$. (L'ultima implicazione vale perchè i punti appartengono allo spazio affine fissato e quindi valgono i relativi assiomi).
Suriettività:
Il punto $P$ che bisogna trovare, se non erro, è il trasformato di $P$ secondo un'omotetia $bar omega$ di centro $O$ e fattore $-c$. Ma non ne sono sicuro!
In teoria dovrei provare che la legge data nella definizione è "ben definita"; mentre per le traslazioni era immediato in forza degli assiomi dello spazio affine, qui per le omotetie come posso fare?
Iniettività:
Si prova che $OP=OQ$. A norma di definizione $omega_(O,c)(P)=omega_(O,c)(Q)=T$, con $T$ tale che: $vec{OT}=c*vec{OP}$ e anche $vec{OT}=c*vec{OQ}$. Da tali relazioni si trae $vec{OT}=c*vec{OP}=c*vec{OQ} rArr c*vec{OP}=c*vec{OQ} rArr vec{OP}=vec{OQ} rArr P=Q$. (L'ultima implicazione vale perchè i punti appartengono allo spazio affine fissato e quindi valgono i relativi assiomi).
Suriettività:
Il punto $P$ che bisogna trovare, se non erro, è il trasformato di $P$ secondo un'omotetia $bar omega$ di centro $O$ e fattore $-c$. Ma non ne sono sicuro!
In teoria dovrei provare che la legge data nella definizione è "ben definita"; mentre per le traslazioni era immediato in forza degli assiomi dello spazio affine, qui per le omotetie come posso fare?
"Andrea90":
Iniettività:
Si prova che $OP=OQ$. A norma di definizione $omega_(O,c)(P)=omega_(O,c)(Q)=T$, con $T$ tale che: $vec{OT}=c*vec{OP}$ e anche $vec{OT}=c*vec{OQ}$. Da tali relazioni si trae $vec{OT}=c*vec{OP}=c*vec{OQ} rArr c*vec{OP}=c*vec{OQ} rArr vec{OP}=vec{OQ} rArr P=Q$. (L'ultima implicazione vale perchè i punti appartengono allo spazio affine fissato e quindi valgono i relativi assiomi).
Ok. Io specificherei che la penultima implicazione vale in forza del fatto che $c!=0$.
"Andrea90":
Suriettività:
Il punto $P$ che bisogna trovare, se non erro, è il trasformato di $P$ secondo un'omotetia $bar omega$ di centro $O$ e fattore $-c$. Ma non ne sono sicuro!
Erri. Il fattore non è $-c$, ma $1/c$.
Esatto. Ero indeciso... me ne sono convinto giusto qualche minuto fa che si trattava del fattore $1/c$ (ho pensato all'operazione di composizione fra omotetie aventi lo stesso centro)!
Riguardo il fatto che la legge è ben definita? E' importante provarlo?
Riguardo il fatto che la legge è ben definita? E' importante provarlo?
Spero di aver compreso bene la tua domanda.
Correggimi se sbaglio.
Tu definisci l'omotetia di centro $O$ e fattore $c$ come l'applicazione $omega_{O,c}:A\to A$ che ad ogni punto $P$ associa l'unico punto $P'$ tale che $OP'=c\cdot OP$.
Vuoi provare che tale applicazione è ben definita, giusto? Ovvero vuoi provare che tala applicazione associa effettivamente ad ogni punto $P$ uno ed un solo elemento di $A$.
Ma questo è ovvio, visto che il punto $P'$ è ben definito dagli assiomi di spazio affine...
E comunque non capisco cosa c'entri con la suriettività. Puoi essere più chiaro per favore?
Correggimi se sbaglio.
Tu definisci l'omotetia di centro $O$ e fattore $c$ come l'applicazione $omega_{O,c}:A\to A$ che ad ogni punto $P$ associa l'unico punto $P'$ tale che $OP'=c\cdot OP$.
Vuoi provare che tale applicazione è ben definita, giusto? Ovvero vuoi provare che tala applicazione associa effettivamente ad ogni punto $P$ uno ed un solo elemento di $A$.
Ma questo è ovvio, visto che il punto $P'$ è ben definito dagli assiomi di spazio affine...
E comunque non capisco cosa c'entri con la suriettività. Puoi essere più chiaro per favore?
"cirasa":
Ma questo è ovvio, visto che il punto $P'$ è ben definito dagli assiomi di spazio affine...
In che senso il punto $P'$ è ben definito dagli assiomi di spazio affine?
Comunque hai capito bene la domanda! In ogni caso non c'entra nulla la suriettività... era una curiosità che mi era sorta!
Ah, ok. Avevo capito male io, allora! 
In che senso il punto $P'$ è ben definito dagli assiomi di spazio affine?[/quote]
Nel senso che, se non ricordo male, uno degli assiomi di spazio affine $A$ (avente lo spazio vettoriale $V$ come giacitura) è il seguente:
Per ogni punto $Q$ e per ogni vettore $v\in V$ esiste un unico punto $R$ tale che $QR=v$.
Nel caso delle omotetie, hai un punto $P\in A$. Dunque $v=c\cdot OP$ è un vettore nella giacitura di $A$.
Per l'assioma esiste un unico punto $P'$ tale che $OP'=v$, cioè tale che $OP'=c\cdot OP$.
Tutto chiaro?
"Andrea90":
[quote="cirasa"]Ma questo è ovvio, visto che il punto $P'$ è ben definito dagli assiomi di spazio affine...
In che senso il punto $P'$ è ben definito dagli assiomi di spazio affine?[/quote]
Nel senso che, se non ricordo male, uno degli assiomi di spazio affine $A$ (avente lo spazio vettoriale $V$ come giacitura) è il seguente:
Per ogni punto $Q$ e per ogni vettore $v\in V$ esiste un unico punto $R$ tale che $QR=v$.
Nel caso delle omotetie, hai un punto $P\in A$. Dunque $v=c\cdot OP$ è un vettore nella giacitura di $A$.
Per l'assioma esiste un unico punto $P'$ tale che $OP'=v$, cioè tale che $OP'=c\cdot OP$.
Tutto chiaro?
Chiarissimo.
Ti ringrazio per il prezioso aiuto! Se ci dovessero essere altri dubbi, ti farò sapere!
Ti ringrazio per il prezioso aiuto! Se ci dovessero essere altri dubbi, ti farò sapere!
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