Omomorfismo indotto

[5mrkv]

Sia \(h:X\rightarrow Y\) continua tale che per \(x_{0}\in X\) e \(y_{0}\in Y\) vale \(h(x_{0})=y_{0}\). Definisco allora l'omomorfismo indotto da \(h\) come
\begin{split}
h_{*}&:\pi_{1}(X,x_{0})\rightarrow \pi_{1}(Y,y_{0}) \\
h_{*}&([f])=[h\circ f]
\end{split}
Se \(i:(X,x_{0})\rightarrow (X,x_{0})\) l'applicazione identità, allora \(i_{*}\) è l'omomorfismo identità infatti
\[i_{*}([f])=[i\circ f]=[f]\]
Se considero la mappa inclusione \(j:(X,x_{0})\rightarrow (Y,x_{0})\) allora l'omomorfismo indotto è iniettivo?

\begin{split}
j_{*}([f_{1}])&=j_{*}([f_{2}]) \\
[j(f_{1})]&=[j(f_{2})] \Rightarrow \\
j(f_{1})&\simeq j(f_{2}) \\
\mbox{ ma }j(f_{1})&=f_{1}\mbox{ e } j(f_{2})=f_{2} \Rightarrow \\
f_{1}&\simeq f_{2} \Rightarrow \\
[f_{1}]&=[f_{2}]
\end{split}

Il problema è che sul libro vedo come lemma: If \(A\) is a retract of \(X\), the homomorphism of foundamental groups induced by inclusion \(j:A\rightarrow X\) is injective. Questo lemma mi è chiaro, eppure non trovo l'errore nella dimostrazione sotto spoiler.

[5mrkv]

Trovato l'errore. Magari può essere un esercizio se non è troppo semplice. Boh.