Omologia

[process11]

come si calcola l'omologia della seguente coppia : $(T,S^1)$ dove T è il toro e $S^1$ è una circonferenza che gira intorno al toro??? un disegno è visibile qui (prendendo ad esempio $S^1$ come la circvonferenza viola)

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/c ... cycles.png

il gruppo di omologia del toro è $H_q(T)$=$\{(Z+Z if q=1),(Z if q=0 e q=2),(0 if q>=3):}$
e l'omologia di $S^1$ è

$H_q(S^1)$=$\{(Z if q=0 e q=1),(0 if q>1):}$

ora l'idea sarebbe quella di prendere la successione lunga della coppia

$H_q(S^1)->H_q(T)->H_q(T,S^1)->H_(q-1)(S^1)$ e a questo punto cosa devo fare??

[apatriarca]

L'aspetto principale di quella successione non è il fatto di essere lunga, ma di essere esatta. E' quindi importante scrivere anche questo aggettivo.. E' a volte possibile calcolare i gruppi di omologia spezzando la successione esatta lunga in successioni esatte corte e quindi sfruttandone le proprietà. A volte è invece necessario calcolarsi le diverse mappe. Per spezzare la successione esatta lunga in sottosuccessioni esatte corte si cercano mappe che siano iniettive o suriettive (o entrambe). In questo caso abbiamo prima di tutto un isomorfismo \(H_0(\mathbb S^1) \simeq H_0(\mathbb T^2).\) Abbiamo quindi che \( H_0(\mathbb T^2, \mathbb S^1) = 0. \) Abbiamo poi che il generatore di \( H_1(\mathbb S^1) \) viene mandato iniettivamente in uno dei due generatori di \( H_1(\mathbb T^2). \) Possiamo quindi spezzare la successione subito prima del primo gruppo di omologia della circonferenza ottenendo le due successioni esatte corte:
\[ \begin{array}{c}
0 \to \mathbb Z \; \hookrightarrow \; \mathbb Z^2 \to\!\!\!\!\!\!\to H_1(\mathbb T^2, \mathbb S^1) \to 0, \\
0 \to \mathbb Z \, \simeq \, H_2(\mathbb T^2, \mathbb S^1) \to 0. \end{array} \]
Successioni che ci forniscono direttamente il risultato:
\[ H_q(\mathbb T^2, \mathbb S^1) = \begin{cases} \mathbb Z & q = 1 \vee q = 2 \\ 0 & \text{altrimenti.} \end{cases} \]

[process11]

e se considerassi per esempio
$(T^2,S^1 uu S^1)$

con un ragionamento più o meno simile mi viene.....
$H_q(T,S^1 uu S^1)$=$\{(0 if q=0 vv q=1),(Z if q>2):}$

è possibile?

[apatriarca]

Non è possibile che sia così perché l'omologia di uno spazio di dimensione \(2\) non può essere diversa da zero per \(q > 2\). Intendevi dire che era \(\mathbb Z\) per \(q = 2\)? Se è così allora è corretta.

Con \(\mathbb S^1 \cup \mathbb S^1\) intendi dire l'unione delle due circonferenze mostrate nel disegno (le circonferenze rosse e viola)? La loro omologia è data da
\[ H_q(\mathbb S^1 \wedge \mathbb S^1) = \begin{cases} \mathbb Z & q = 0 \\ \mathbb Z^2 & q = 1 \\ 0 & \text{altrimenti.} \end{cases} \]
Per cui abbiamo due isomorfismi in dimensione \(0\) e \(1\) tra \(H_q(\mathbb S^1 \wedge \mathbb S^1)\) e \(H_q(\mathbb T^2)\). Per cui l'omologia della coppia è sicuramente zero in queste dimensioni. In dimensione \(2\) abbiamo poi un isomorfismo come nel caso precedente e quindi l'omologia relativa della coppia in questo caso è senza dubbio \(\mathbb Z\).

[process11]

si certo se $q=2$ allora abbiamo $Z$...0 altrimenti grazie