Omeomorfismo con l'immagine
Salve,
sto studiando geometria differenziale e mi trovo ad avere a che fare con la seguente curva parametrizzata $\alpha:(-1, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}^2$ data da
\[\alpha(t)=(t^2-1,t^3-t).\]
Mi si chiede di provare che non sia un omeomorfismo sull'immagine.
Come devo fare? Inoltre, restringendo il dominio a $(0, + infty)$ è posssibile che lo sia?
Grazie infinite a chi mi risponderà
sto studiando geometria differenziale e mi trovo ad avere a che fare con la seguente curva parametrizzata $\alpha:(-1, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}^2$ data da
\[\alpha(t)=(t^2-1,t^3-t).\]
Mi si chiede di provare che non sia un omeomorfismo sull'immagine.
Come devo fare? Inoltre, restringendo il dominio a $(0, + infty)$ è posssibile che lo sia?
Grazie infinite a chi mi risponderà
Risposte
Quella è un ramo della cubica di Tschirnhausen di equazione \(\displaystyle y^2=x^3-x^2\); e per come scelto \(\displaystyle\alpha\) è un omeomorfismo...
"j18eos":
Quella è un ramo della cubica di Tschirnhausen di equazione \(\displaystyle y^2=x^3-x^2\); e per come scelto c\(\displaystyle\alpha\) è un omeomorfismo...
Penso che quella a cui ti riferisci sia quella che in analisi chiamiamo "strofoide"..
Comunque la domanda è un'altra:
-Provare che $\alpha$ non è un omeomorfismo con l'immagine;
-Restringendo il dominio a $(0,+\infty),$ $\alpha$ è un omeomorfismo con l'immagine?
Si chiama anche cubica annodata o cubica di Catalan...
T'ho risposto: \(\alpha:t\in]-1,+\infty[\to(t^2-1,t^3-t)\in\mathbb{R}^2\) è un omeomorfismo con l'immagine.
T'ho risposto: \(\alpha:t\in]-1,+\infty[\to(t^2-1,t^3-t)\in\mathbb{R}^2\) è un omeomorfismo con l'immagine.
Capisco.. Il problema è PROVARE che sia/non sia un omeomorfismo con l'immagine.
La domanda precisa è:
"$\alpha$ è una curva parametrizzata iniettiva, ma non è un omeomorfismo con l’immagine, perchè?"; e aggiunge: "restringendo il dominio a $(0, +infty),$ $\alpha$ è un omoeomorfismo con l'immagine?"
Grazie per la pazienza comunque
La domanda precisa è:
"$\alpha$ è una curva parametrizzata iniettiva, ma non è un omeomorfismo con l’immagine, perchè?"; e aggiunge: "restringendo il dominio a $(0, +infty),$ $\alpha$ è un omoeomorfismo con l'immagine?"
Grazie per la pazienza comunque
Probabilmente non è un omeomorfismo con la sua immagine perché ogni intorno di $\alpha(0)$ ha troppe componenti connesse per essere omeomorfo a un intorno di $0$ in \(]-1,\infty[\).
Grazie Mille!!!
Come faccio però a provare questo?
Forse è proprio per questo (cioè per il fatto che in $(-1, +\infty)$ non è un omeomorfismo) che pone la seconda domanda..
Come faccio però a provare questo?
Forse è proprio per questo (cioè per il fatto che in $(-1, +\infty)$ non è un omeomorfismo) che pone la seconda domanda..
Ora non so bene come sia fatta quella curva, ma ho il presentimento che sia fatta circa come una lettera $alpha$ (intendo proprio la lettera). Dovrebbe autointersecarsi da qualche parte, e allora potresti ragionare sul fatto che i gruppi fondamentali sono diversi. Invece in $(0,oo)$ la curva non si autointerseca
Per chiarezza, sia
\[
\gamma:t\in\mathbb{R}\to(t^2-1,t^3-t)\in\mathbb{R}^2;
\]
si vogliano determinare i valori di \(\displaystyle t\) tali che la curva parametrizzata da \(\displaystyle\gamma\) si autointersechi.
Banalmente:
\[
\gamma(t_1)=\gamma(t_2)\iff\begin{cases}
t_1^2-1=t_2^2-1\\
t_1^3-t_1=t_2^3-t_2
\end{cases}\iff\begin{cases}
t_1=\pm t_2\\
t_1^3-t_1=t_2^3-t_2
\end{cases}
\]
cercando le soluzioni non banali \(\displaystyle t_1=-t_2\) tali che \(\displaystyle\gamma(t)=\gamma(-t)\), si ottiene l'equazione
\[
t^3-t=(-t)^3-(-t)\\
t^3-t=-t^3+t\\
2t^3-2t=0\\
2t(t^2-1)=0\\
\vdots\\
t\in\{-1,0,1\}
\]
ovvero l'unico punto di autointersezione per \(\displaystyle\gamma\) è il punto \(\displaystyle\gamma(-1)=(0,0)=\gamma(1)\).
Considerata la restrizione \(\displaystyle\gamma_{|]-1,+\infty[}=\alpha\), si ha che questa è una funzione iniettiva e continua, rispetto alla topologie naturali di \(\displaystyle\mathbb{R}\) ed \(\displaystyle\mathbb{R}^2\); in particolare \(\displaystyle\alpha\) è una biezione continua tra \(\displaystyle]-1,+\infty[\) e la sua immagine in \(\displaystyle\mathbb{R}^2\) (mediante \(\displaystyle\alpha\)).
\[
\gamma:t\in\mathbb{R}\to(t^2-1,t^3-t)\in\mathbb{R}^2;
\]
si vogliano determinare i valori di \(\displaystyle t\) tali che la curva parametrizzata da \(\displaystyle\gamma\) si autointersechi.
Banalmente:
\[
\gamma(t_1)=\gamma(t_2)\iff\begin{cases}
t_1^2-1=t_2^2-1\\
t_1^3-t_1=t_2^3-t_2
\end{cases}\iff\begin{cases}
t_1=\pm t_2\\
t_1^3-t_1=t_2^3-t_2
\end{cases}
\]
cercando le soluzioni non banali \(\displaystyle t_1=-t_2\) tali che \(\displaystyle\gamma(t)=\gamma(-t)\), si ottiene l'equazione
\[
t^3-t=(-t)^3-(-t)\\
t^3-t=-t^3+t\\
2t^3-2t=0\\
2t(t^2-1)=0\\
\vdots\\
t\in\{-1,0,1\}
\]
ovvero l'unico punto di autointersezione per \(\displaystyle\gamma\) è il punto \(\displaystyle\gamma(-1)=(0,0)=\gamma(1)\).
Considerata la restrizione \(\displaystyle\gamma_{|]-1,+\infty[}=\alpha\), si ha che questa è una funzione iniettiva e continua, rispetto alla topologie naturali di \(\displaystyle\mathbb{R}\) ed \(\displaystyle\mathbb{R}^2\); in particolare \(\displaystyle\alpha\) è una biezione continua tra \(\displaystyle]-1,+\infty[\) e la sua immagine in \(\displaystyle\mathbb{R}^2\) (mediante \(\displaystyle\alpha\)).
In effetti
\[
\forall\epsilon>0,\,\alpha_{\epsilon}:t\in]-1+\epsilon,+\infty[\to(t^2-1,t^3-t)\in\mathbb{R}^2
\]
è un omeomorfismo; basta fare qualche calcolo.
Invece
\[
\alpha:t\in]-1,+\infty[\to(t^2-1,t^3-t)\in\mathbb{R}^2
\]
non è un omeomorfismo sull'immagine; in quanto le anti-immagini degli intorni aperti connessi di \(\displaystyle(0,0)\) sono aperti con due componenti connesse.
\[
\forall\epsilon>0,\,\alpha_{\epsilon}:t\in]-1+\epsilon,+\infty[\to(t^2-1,t^3-t)\in\mathbb{R}^2
\]
è un omeomorfismo; basta fare qualche calcolo.
Invece
\[
\alpha:t\in]-1,+\infty[\to(t^2-1,t^3-t)\in\mathbb{R}^2
\]
non è un omeomorfismo sull'immagine; in quanto le anti-immagini degli intorni aperti connessi di \(\displaystyle(0,0)\) sono aperti con due componenti connesse.
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