Nuovi autovettori dopo la diagonalizzazione
Buonasera,
la mia è una domanda banale ma sto un po' a digiuno di matrici.
Ho una matrice
$ A=( ( 2 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 2 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 2 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 2 ) ) $
i cui autovettori sono $ vec{x}=( ( 1),( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) $ ,$ vec{y}=( ( 0),( 1 ),( 0 ),( 0 ) ) $ , $ vec{z}=( ( 0),( 0 ),( 1 ),( 0 ) ) $ e $ vec{k}=( ( 0),( 0 ),( 0 ),( 1 ) ) $ .
Ho una seconda matrice
$ B=( ( 2 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 1 , 0 ),( 0 , 1 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 2 ) ) $
e noto che gli autovettori della matrice $A$ non sono tutti autovettori anche della matrice $B$ (l'intento è quello di trovare un insieme di quattro vettori che siano autovettori contemporaneamente delle due matrici). Quindi procedo con la diagonalizzazione. Diagonalizzo il blocco centrale e mi escono i due autovalori $ lambda =0, 1 $ . La prima domanda è: come decido in quale riga va 0 e in quale va 1?
Supponiamo di mettere 1 nella seconda riga e 0 nella terza, e ottengo la nuova matrice
$ B'=( ( 2 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0, 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 2 ) ) $.
A questo punto come faccio a dire quali sono i nuovi autovettori di questa matrice? Il testo dice che sono $ vec{x}$, $ vec{y'}=vec(y)+vec(z)$, $ vec{z'} = vec(y)-vec(z)$ e $ vec{k}$. Perché?
Poi vado a vedere se questi autovettori sono anche autovettori della matrice $A$: sicuramente lo sono il primo e il quarto; controllando il secondo e il terzo si vede che sono autovettori di autovalori rispettivamente $2$ e $0$. Come faccio a scrivere la nuova matrice $A'$? Sostituisco direttamente gli autovalori brutalmente dentro per ottenere
$ A'=( ( 2 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 2 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 2 ) ) $ ?
Grazie in anticipo:)
Nabla
la mia è una domanda banale ma sto un po' a digiuno di matrici.
Ho una matrice
$ A=( ( 2 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 2 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 2 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 2 ) ) $
i cui autovettori sono $ vec{x}=( ( 1),( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) $ ,$ vec{y}=( ( 0),( 1 ),( 0 ),( 0 ) ) $ , $ vec{z}=( ( 0),( 0 ),( 1 ),( 0 ) ) $ e $ vec{k}=( ( 0),( 0 ),( 0 ),( 1 ) ) $ .
Ho una seconda matrice
$ B=( ( 2 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 1 , 0 ),( 0 , 1 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 2 ) ) $
e noto che gli autovettori della matrice $A$ non sono tutti autovettori anche della matrice $B$ (l'intento è quello di trovare un insieme di quattro vettori che siano autovettori contemporaneamente delle due matrici). Quindi procedo con la diagonalizzazione. Diagonalizzo il blocco centrale e mi escono i due autovalori $ lambda =0, 1 $ . La prima domanda è: come decido in quale riga va 0 e in quale va 1?
Supponiamo di mettere 1 nella seconda riga e 0 nella terza, e ottengo la nuova matrice
$ B'=( ( 2 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0, 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 2 ) ) $.
A questo punto come faccio a dire quali sono i nuovi autovettori di questa matrice? Il testo dice che sono $ vec{x}$, $ vec{y'}=vec(y)+vec(z)$, $ vec{z'} = vec(y)-vec(z)$ e $ vec{k}$. Perché?
Poi vado a vedere se questi autovettori sono anche autovettori della matrice $A$: sicuramente lo sono il primo e il quarto; controllando il secondo e il terzo si vede che sono autovettori di autovalori rispettivamente $2$ e $0$. Come faccio a scrivere la nuova matrice $A'$? Sostituisco direttamente gli autovalori brutalmente dentro per ottenere
$ A'=( ( 2 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 2 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 2 ) ) $ ?
Grazie in anticipo:)
Nabla
Risposte
In questo caso la base si considera ordinata[nota]$(a,b) ne (b,a)$[/nota]
$ A=( (alpha , 0 , 0 , 0 ),( 0 , beta , 0 , 0 ),( 0 , 0 , gamma , 0 ),( 0 , 0 , 0 , delta) )$ la cui base ordinata di autovettori è ${v_alpha, v_beta, v_gamma, v_delta}$[nota]Con $v_alpha$ intendo l'autovettore relativo all'autovalore $alpha$[/nota]
Oppure $ A=( (gamma , 0 , 0 , 0 ),( 0 , beta , 0 , 0 ),( 0 , 0 , alpha , 0 ),( 0 , 0 , 0 , delta) )$ però la base è ${v_gamma, v_beta, v_alpha, v_delta}$
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