Nucleo ed immagine app.lineare
Salve! Sono iscritta alla facoltà di Ingegneria Informatica e a breve dovrò sostenere l'esame di Matematica I. Ho un po' di dubbi su vari argomenti di algebra lineare, spero di risolverli con il vostro aiuto 
In particolare non capisco come avvenga il passaggio da uno sp.vettoriale di una certa dim n ad un altro sp. di dimensione m e quale sia il metodo di risoluzione che mi permette di trovare l'Immagine di un'app. lineare.
Inserisco un esercizio così da rendere più chiaro il tutto!
Sia f: R3 -> R5 tale che f(3, 1, -2) = (1, 0, -1, 2, 0), f(1, 0, -1) = (0, 3, 1, -2, 1) e f(2, 2, -1) = (2, -9, -5, 10, -3)
Devo trovare nucleo ed immagine di f e scrivere la matrice rappresentativa dell'applicazione.
Dal punto di vista logico penso che dovrei in primis trovare l'equazione generale dell'applicazione, ma è proprio su questo punto che mi blocco!
Spero possiate aiutarvi e intanto vi ringrazio
PS: FORSE il messaggio non è scritto in forma corretta. Se è così mi scuso e vi assicuro che la prossima volta ottimizzerò il tutto xD
In particolare non capisco come avvenga il passaggio da uno sp.vettoriale di una certa dim n ad un altro sp. di dimensione m e quale sia il metodo di risoluzione che mi permette di trovare l'Immagine di un'app. lineare. Inserisco un esercizio così da rendere più chiaro il tutto!
Sia f: R3 -> R5 tale che f(3, 1, -2) = (1, 0, -1, 2, 0), f(1, 0, -1) = (0, 3, 1, -2, 1) e f(2, 2, -1) = (2, -9, -5, 10, -3)
Devo trovare nucleo ed immagine di f e scrivere la matrice rappresentativa dell'applicazione.
Dal punto di vista logico penso che dovrei in primis trovare l'equazione generale dell'applicazione, ma è proprio su questo punto che mi blocco!
Spero possiate aiutarvi e intanto vi ringrazio
PS: FORSE il messaggio non è scritto in forma corretta. Se è così mi scuso e vi assicuro che la prossima volta ottimizzerò il tutto xD
Risposte
Mmm scritta così la traccia è incompleta. La matrice rappresentativa della nostra $f$, ma rispetto a che basi? Quelle canoniche forse?
PS: Ti invito ad usare le formule (click) in modo che tutto sia più chiaro Piacciono i pantera eh? 
PS: Ti invito ad usare le formule (click) in modo che tutto sia più chiaro
Piacciono i pantera eh?
"mistake89":
Mmm scritta così la traccia è incompleta. La matrice rappresentativa della nostra $f$, ma rispetto a che basi? Quelle canoniche forse?
PS: Ti invito ad usare le formule (click) in modo che tutto sia più chiaro
Immaginavo di aver sbagliato qualcosa XD cmq sì li adoro.. dimebag è stato di grande ispirazione per me
Tornando a noi.. La matrice è rispetto alla basi canoniche (sorry XD), ma ciò che non mi torna è come si possa scrivere l'eq "generica" in R5! La matrice è l'ultimo dei problemi ahauha
Si tratta sostanzialmente di vedere dove vengono mandati i vettori [tex]e_1,e_2,e_3[/tex] della base canonica di [tex]\mathbb{R}^3[/tex]. Puoi procedere così: poniamo
[tex]v_1:=\left(3,1,-2\right)[/tex]
[tex]v_2:=\left(1,0,-1\right)[/tex]
[tex]v_3:=\left(2,2,-1\right)[/tex]
Quello che sai è dove vengono mandati questi vettori da [tex]f[/tex]: puoi verificare senza problemi (sempre se non ho commesso errori di calcolo ) che
[tex]e_1 = 2v_1 - 3v_2 - v_3[/tex]
[tex]e_2 = v_3 + v_2 - v_1[/tex]
[tex]e_3 = 2v_1 - 4v_2 - v_3[/tex]
sfruttando la linearità di [tex]f[/tex] trovi quindi
[tex]f(e_1) = f(2v_1 -3v_2 - v_3) = 2f(v_1) - 3f(v_2) - f(v_3)[/tex]
e analogamente puoi scrivere [tex]f(e_2)[/tex] ed [tex]f(e_3)[/tex], e quindi la matrice che rappresenta [tex]f[/tex] rispetto alle basi canoniche di [tex]\mathbb{R}^3, \mathbb{R}^5[/tex]
Se mi sono spiegato bene, da qui in poi non dovresti avere altri problemi
[tex]v_1:=\left(3,1,-2\right)[/tex]
[tex]v_2:=\left(1,0,-1\right)[/tex]
[tex]v_3:=\left(2,2,-1\right)[/tex]
Quello che sai è dove vengono mandati questi vettori da [tex]f[/tex]: puoi verificare senza problemi (sempre se non ho commesso errori di calcolo
) che[tex]e_1 = 2v_1 - 3v_2 - v_3[/tex]
[tex]e_2 = v_3 + v_2 - v_1[/tex]
[tex]e_3 = 2v_1 - 4v_2 - v_3[/tex]
sfruttando la linearità di [tex]f[/tex] trovi quindi
[tex]f(e_1) = f(2v_1 -3v_2 - v_3) = 2f(v_1) - 3f(v_2) - f(v_3)[/tex]
e analogamente puoi scrivere [tex]f(e_2)[/tex] ed [tex]f(e_3)[/tex], e quindi la matrice che rappresenta [tex]f[/tex] rispetto alle basi canoniche di [tex]\mathbb{R}^3, \mathbb{R}^5[/tex]
Se mi sono spiegato bene, da qui in poi non dovresti avere altri problemi
Ti ringrazio molto ma ci sono molte cose che non ho compreso..
1. in primo luogo $e_1, e_2, e_3 $ devo trovarli "ad sensum"? xD mi spiego meglio: non esiste un metodo più veloce rispetto al confronto delle varie combinazioni che ci danno la base canonica?
2. svolgendo $f(e_1)$ ottengo un vettore nullo in R5.. perché?
3. dando uno sguardo al risultato dell'esercizio ho notato che si parte da un'eq. generica (come pensavo io).. in particolare l'eq dell'applicazione è $(y, -6y-3z, -3y -z, 6y+2z, -2y-z)$. In che modo la si ottiene?
Ti ringrazio molto per la risposta ho iniziato a capire qualcosa in più!
1. in primo luogo $e_1, e_2, e_3 $ devo trovarli "ad sensum"? xD mi spiego meglio: non esiste un metodo più veloce rispetto al confronto delle varie combinazioni che ci danno la base canonica?
2. svolgendo $f(e_1)$ ottengo un vettore nullo in R5.. perché?
3. dando uno sguardo al risultato dell'esercizio ho notato che si parte da un'eq. generica (come pensavo io).. in particolare l'eq dell'applicazione è $(y, -6y-3z, -3y -z, 6y+2z, -2y-z)$. In che modo la si ottiene?
Ti ringrazio molto per la risposta ho iniziato a capire qualcosa in più!
Allora, rispondo in ordine:
1) Temo di no! Tuttavia con un po' di pratica dovresti riuscire ad accorgerti abbastanza rapidamente di come esprimere una base in funzione di un'altra (immagino tu abbia notato che [tex]v_1,v_2,v_3[/tex] formano una base di [tex]\mathbb{R}^3[/tex] )
2) Perché [tex]f(e_1) = 0[/tex] ti crea problemi?
3) Svolgendo i calcoli, hai ottenuto che la matrice rappresentante [tex]f[/tex] è
[tex]\mathcal{M}_f:=\left(
\begin{matrix}
0 & 1 & 0\\
0&-6&-3\\
0&-3&-1\\
0&6&2\\
0&-2&-1
\end{matrix}
\right)[/tex]
Ma allora puoi scrivere
[tex]f(\left(x,y,z\right)) = \mathcal{M}_f \left(\begin{matrix}x \\ y \\ z\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}y\\-6y-3z\\-3y-z\\6y+2z\\-2y-z\end{matrix}\right)[/tex]
che è il risultato espresso nella forma che dici tu (solo scritto sotto forma di vettore colonna)
Nota che hai bisogno che [tex]f(e_1) = 0[/tex] per far tornare i conti: infatti puoi notare che la componente [tex]x[/tex] non è presente nell'espressione di [tex]f[/tex]
Spero di essere stato un po' più esauriente questa volta!
1) Temo di no! Tuttavia con un po' di pratica dovresti riuscire ad accorgerti abbastanza rapidamente di come esprimere una base in funzione di un'altra (immagino tu abbia notato che [tex]v_1,v_2,v_3[/tex] formano una base di [tex]\mathbb{R}^3[/tex]
)2) Perché [tex]f(e_1) = 0[/tex] ti crea problemi?
3) Svolgendo i calcoli, hai ottenuto che la matrice rappresentante [tex]f[/tex] è
[tex]\mathcal{M}_f:=\left(
\begin{matrix}
0 & 1 & 0\\
0&-6&-3\\
0&-3&-1\\
0&6&2\\
0&-2&-1
\end{matrix}
\right)[/tex]
Ma allora puoi scrivere
[tex]f(\left(x,y,z\right)) = \mathcal{M}_f \left(\begin{matrix}x \\ y \\ z\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}y\\-6y-3z\\-3y-z\\6y+2z\\-2y-z\end{matrix}\right)[/tex]
che è il risultato espresso nella forma che dici tu (solo scritto sotto forma di vettore colonna)
Nota che hai bisogno che [tex]f(e_1) = 0[/tex] per far tornare i conti: infatti puoi notare che la componente [tex]x[/tex] non è presente nell'espressione di [tex]f[/tex]
Spero di essere stato un po' più esauriente questa volta!
"Jerome":
Spero di essere stato un po' più esauriente questa volta!
TI RINGRAZIO FINALMENTE HO CAPITO.. forse! aahauah
in pratica l'immagine di un vettore $v$ è il vettore che si ottiene "svolgendo" l'applicazione sul vettore dato? (cioè $app(v) = Im(app)$) .. correggimi se sbaglio!
per "trovarla" dobbiamo passare prima per la matrice associata, giusto? quest'ultima l'abbiamo trovata seguendo il seguente procedimento:
1. trovo delle combinazioni dei vettori in R3 che mi restituiscano i 3 elementi della base canonica di R3 (${(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}$;
2. "trasformo" la base canonica di R3 mediante l'app. lineare fornitami dalla traccia;
3. trovo la matrice rappresentante, che ha per colonne le immagini dei vettori di R5 appena trovati;
4. a questo punto, a seconda della dimensione di Im, capisco quale possa essere una base.
Ho sbagliato qualcosa?
Salvo qualche abuso di linguaggio quà e là, direi che ci sei
Per andare sul sicuro, potresti dire meglio cosa intendi nel punto (4)?
Per andare sul sicuro, potresti dire meglio cosa intendi nel punto (4)?
"Jerome":
Salvo qualche abuso di linguaggio quà e là, direi che ci sei
Per andare sul sicuro, potresti dire meglio cosa intendi nel punto (4)?
Cosa intendi per "abuso di linguaggio"?
Ci tengo molto a capire bene quindi se puoi correggimi pure!! Nel punto 4 intendo che a seconda della dimensione dell'immagine sapremo da quanti vettori è costituita la base, dunque quante saranno le colonne lin. indipendenti che potranno costituirla.. in questo caso la seconda e la terza!
Per il punto (4), darei un ok!
Per abuso di linguaggio intendo cose del tipo [tex]app(v) = Im(app)[/tex], cerca di evitarle, tutto qui! Se continui a studiare e a porti domande, non avrai problemi a passare l'esame (e soprattutto a comprendere gli argomenti)!
Per abuso di linguaggio intendo cose del tipo [tex]app(v) = Im(app)[/tex], cerca di evitarle, tutto qui! Se continui a studiare e a porti domande, non avrai problemi a passare l'esame (e soprattutto a comprendere gli argomenti)!
"Jerome":
Per il punto (4), darei un ok!
Per abuso di linguaggio intendo cose del tipo [tex]app(v) = Im(app)[/tex], cerca di evitarle, tutto qui! Se continui a studiare e a porti domande, non avrai problemi a passare l'esame (e soprattutto a comprendere gli argomenti)!
ti ringrazio molto per tutto!!
per oggi chiudo i libri ahah domani darò un'occhiata alla discussione sul sistema lineare .. grazie ancora!!
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