Nucleo di un'applicazione lineare

[paolotesla91]

Salve a tutti ho questo esercizio: $\phi: RR^3->RR^3$ per cui:

$\phi(1,0,0)=(1,2,1)$; $\phi(1,1,0)=(0,3,3)$; $\phi(1,1,1)=(-2,2,4)$.

Mi si chiede di determinare il nucleo delle applicazioni.

La definizione di nucleo è $Ker\phi={v in RR^3 : \phi(v)=0}$.

Non riesco a capire come sono calcolate le applicazioni perchè una base di $RR^3$ sarebbe la base $B={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}$.

Come mi calcolo la matrice associata all'applicazione? Sareste cosi gentili da illuminarmi?

[paolotesla91]

mmm.. Paola è lecito aggiungere alla matrice la colonna (1,0,0)? Rouche-Capelli afferma che se è compatibile allora $\rho(A)=\rho(A|B)$ ma questo non è vero se io aggiungo un vettore della base canonica alla matrice! a meno che non debba aggiungere un generico vettore!

[_prime_number]

Non ho capito perché vuoi aggiungere una colonna.
Vuoi postare il testo esatto dell'esercizio?
Riguardo a Rouchè Capelli, mi autocito da questo post:

"prime_number":Rouchè Capelli ti dà un metodo sistematico per risolvere i sistemi, eccolo qua.
Chiami con $A, A'$ rispettivamente la matrice incompleta e completa e $n$ il numero delle incognite.

caso 1. $r(A)\ne r(A')$. Sistema impossibile.

caso 2. $r(A)=r(A')$
sottocaso 2a. $r(A)=r(A')=n$.Sistema determinato, usare Cramer per esplicitare le soluzioni.
sottocaso 2b. $r(A)=r(A')=k scegliere $n-k$ incognite come parametri.

Paola

Paola

[paolotesla91]

ok eccolo: Verificare la compatibilità del seguente sistema di equazioni lineari:

$\{(kx+y +z=k+1),(x+ky +z=2-k),(x+y+(1-k)w+z=2k+6):}$ con $k in RR$

[_prime_number]

Ok. La matrice completa è
$((k,1,0,1,k+1),(1,k,0,1,2-k),(1,1,1-k,1,2k+6))$
dove ho messo le incognite in questo ordine: $(x,y,w,z)$.
Chiaramente il sistema non potrà mai essere determinato (perché? Dimmelo tu rileggendo quello che ti ho scritto su Rouchè Capelli).

Ti consiglio inoltre di utilizzare il metodo degli orlati per studiare i vari casi. Inizia da quelli di rango più basso.

Paola

[paolotesla91]

beh ovviamente perchè $\rho(A)!=\rho(A')$ giusto? perchè io trovo che il primo orlato ha rango 3 per $k!=+-1$ quindi per quei valori è anke diverso da 0 e dunque ha rango 3! ora si dovrebbe vedere la matrice completa che rango ha! ma è faticoso e poi ho anche applicato laplace ma mi escono matrici 2x4! :S

[_prime_number]

No, il sistema non sarà mai determinato perché il rango può essere al massimo 3, mentre le incognite sono 4.
Inoltre quando sei nel caso $r(A)=3$ (cioè rango massimo), in automatico anche $r(A')=3$, quindi non devi fare ulteriori calcoli. Infatti dato che $A$ è una parte di $A'$, se hai già trovato un minore non nullo in $A$ di ordine 3, perché andarne a cercare un altro per $A'$??

Paola

[paolotesla91]

giusto! impeccabile grazie ancora e scusa se ti ho rotto le scatole tutta la giornata mi scuso perchè il mio libro fa un pò pena! la dimostrazione è di poco più mezza pagina e non porta questi casi che mi hai elencato! quindi nel tuo post n sarebbe il rango e k il numero di incognite?