Nucleo applicazione lineare

[meck90]

Per verificare se una applicazione lineare è iniettiva devo verificare che il nucleo sia formato solo dallo zero cioè $Ker(f)=0_v$.
Se l'applicazione lineare $f: V \to W$ non è iniettiva allora oltre ad esistere vettori diversi da $0_v$ tali che $f(v_i)=0_w$
non dovrei verificare anche se esistono altri vettori $v$ $in V$ tali che $f(v_1) = f(v_2)$ con $v_1$ $!=$ $v_2$ e tali che $f(v_1)$ $!=$ $0_w$, $f(v_2)$ $!=$ $0_w$ ?


grazie a tutti

[garnak.olegovitc1]

@meck,

"meck":Per verificare se una applicazione lineare è iniettiva devo verificare che il nucleo sia formato solo dallo zero cioè $Ker(f)=0_v$.
Se l'applicazione lineare $f: V \to W$ non è iniettiva allora oltre ad esistere vettori diversi da $0_v$ tali che $f(v_i)=0_w$
non dovrei verificare anche se esistono altri vettori $v$ $in V$ tali che $f(v_1) = f(v_2)$ con $v_1$ $!=$ $v_2$ e tali che $f(v_1)$ $!=$ $0_w$, $f(v_2)$ $!=$ $0_w$ ?


grazie a tutti

mmmm non penso, forse hai dubbi sullla definizione di monomorfismo e sulla proprietà in questione,

Def.: siano dati \( f \in \mathbf{Hom}_K(V;W)\), \( f \) è un monomorfismo se \( f \) è iniettiva

Prop.: siano dati \( f \in \mathbf{Hom}_K(V;W)\), allora $$f \text{ è monomorfismo} \Leftrightarrow ker(f)=\{0_V\}$$Proof.: dimostrarlo è davvero semplice (prova tu!)

ergo, dato un omomorfismo se il kernel di questo non è il singoletto del vettore nullo del dominio allora non è un monomorfismo (ovvero la funzione non è iniettiva)!

Saluti