Mutua posizione retta piano
Buonasera , vorrei un aiuto riguardo questo esercizio.
Ho un retta di equazioni cartesiane:
\[
r:\ \begin{cases} x + y + (k+1) z -2 =0 \\ 2x + (k+1) y - z - 1 =0\end{cases}
\]
ed un piano $\pi$ di equazione:
\[
\pi:\ x+y+3z-k=0
\]
Dovrei stabilire per quali valori di $k$ la retta e il piano sono perpendicolari.
So che per $k=1$ retta e piano sono paralleli.
Per $k=2$ la retta giace sul piano e per tutti gli altri valori la rette dovrebbe essere incidente al piano, ma quando è perpendicolare? Come devo procedere?
grazie
Ho un retta di equazioni cartesiane:
\[
r:\ \begin{cases} x + y + (k+1) z -2 =0 \\ 2x + (k+1) y - z - 1 =0\end{cases}
\]
ed un piano $\pi$ di equazione:
\[
\pi:\ x+y+3z-k=0
\]
Dovrei stabilire per quali valori di $k$ la retta e il piano sono perpendicolari.
So che per $k=1$ retta e piano sono paralleli.
Per $k=2$ la retta giace sul piano e per tutti gli altri valori la rette dovrebbe essere incidente al piano, ma quando è perpendicolare? Come devo procedere?
grazie
Risposte
La retta $r$ ed il piano $pi$ sono ortogonali solo se il vettore direzionale $mathbf(u)_r$ è parallelo al vettore normale $mathbf(n)_pi$.
Visto che $r$ è assegnata mediante equazioni cartesiane di due piani $pi_1$ e $pi_2$, hai $mathbf(u)_r = mathbf(n)_1 xx mathbf(n)_2$ in cui i vettori al secondo membro sono quelli normali a $pi_1$ e $pi_2$ rispettivamente.
Dunque affinché $mathbf(u)_r$ sia parallelo a $mathbf(n)_pi$ basta che $mathbf(n)_1$ ed $mathbf(n)_2$ siano entrambi (contemporaneamente!) perpendicolari a $mathbf(n)_\pi$... Il che si verifica calcolando un paio di prodotti scalari e ponendoli uguale a zero entrambi.
Visto che $r$ è assegnata mediante equazioni cartesiane di due piani $pi_1$ e $pi_2$, hai $mathbf(u)_r = mathbf(n)_1 xx mathbf(n)_2$ in cui i vettori al secondo membro sono quelli normali a $pi_1$ e $pi_2$ rispettivamente.
Dunque affinché $mathbf(u)_r$ sia parallelo a $mathbf(n)_pi$ basta che $mathbf(n)_1$ ed $mathbf(n)_2$ siano entrambi (contemporaneamente!) perpendicolari a $mathbf(n)_\pi$... Il che si verifica calcolando un paio di prodotti scalari e ponendoli uguale a zero entrambi.
quindi dovrei fare il prodotto scalare (1,1,k+1)x(2,k+1,-1) per trovare il vettore direzione che uscirà(2,k+1,-k-1)
e poi prodotto scalare del vettore direzione per il vettore ortogonale al piano (2,k+1,-k-1)*(1,1,3)=.....k=-1/2
per k=-1/2 retta e piano sono perpendicolari? giusto?
e poi prodotto scalare del vettore direzione per il vettore ortogonale al piano (2,k+1,-k-1)*(1,1,3)=.....k=-1/2
per k=-1/2 retta e piano sono perpendicolari? giusto?
"Lerry16":
quindi dovrei fare il prodotto scalare (1,1,k+1)x(2,k+1,-1) per trovare il vettore direzione che uscirà(2,k+1,-k-1)
Ah, quindi il prodotto scalare dà come risultato un vettore... Meglio se vai a leggerti la teoria prima di svolgere esercizi.
ho messo anche il segno (x) per indicare il prodotto vettoriale, ho solo sbagliato a scrivere. Genio
"Genio", quello che hai calcolato difficilmente è il prodotto vettoriale dei due vettori indicati...[nota]A meno che qualcuno non ti abbia detto che il prodotto vettoriale di $(a,b,c)$ e $(alpha, beta, gamma)$ sia $(a alpha, b beta , c gamma)$... Nel qual caso, ti conviene riporre meno fiducia in lui e più fiducia nel tuo testo.[/nota]
Quindi relax e prova a scrivere bene quel che vuoi fare.
Quindi relax e prova a scrivere bene quel che vuoi fare.
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