Mostrare che non è una varietà affine
Sia dato il seguente insieme:
$X=\{(x,x) | x\in \mathbb{R}$ $x\ne\1}$
mostrare che non è una varietà affine in $ \mathbb{R}^{2$} $, come si può fare? Non conosco teoremi o proprietà che mi diano una mano a dimostrare che un insieme non è una varietà affine.
$X=\{(x,x) | x\in \mathbb{R}$ $x\ne\1}$
mostrare che non è una varietà affine in $ \mathbb{R}^{2$} $, come si può fare? Non conosco teoremi o proprietà che mi diano una mano a dimostrare che un insieme non è una varietà affine.
Risposte
Si potrebbe notare che la retta è una varietà: $V=\$, ma dovrei mostrare che non esiste nessun polinomio da aggiungere per ottenere la varietà desiderata.
...non è una varietà affine nel senso della geometria algebrica? 
Si, cioè non può essere scritta come un sistema di polinomi, c'è qualche teorema da utilizzare?
Ma scusa: la topologia di Zariski come la definisci?, e rispetto a tale topologia: com'è \(\displaystyle X\)?
E' un esercizio che riguarda solo la definizione di varietà affine:
$ V=\{(a1,...,an)\in k | f_s(a1,...,an)=0\}$
dove $k$ è un campo e ${f_s}_s$ un insieme di polinomi
$ V=\{(a1,...,an)\in k | f_s(a1,...,an)=0\}$
dove $k$ è un campo e ${f_s}_s$ un insieme di polinomi
Sì, esatto: le varietà affini, topologicamente parlando, sono insiemi... mentre \(\displaystyle X\) è un insieme...
Mi sono perso qualcosa...
A me interessava mostrare che quel insieme non è una varietà affine, ma non ho idee di come farlo... dovrei far vedere che non esistono polinomi che si annullano su quel dato insieme.
A me interessava mostrare che quel insieme non è una varietà affine, ma non ho idee di come farlo... dovrei far vedere che non esistono polinomi che si annullano su quel dato insieme.
Ti basta far vedere che ogni polinomio che si annulla su $X$ si annulla anche su $Y = X \cup \{ (1,1)\}$. Come hai fatto vedere, $y-x$ e' un polinomio che si annulla su $Y$.
C'e' una proprieta' topologica dei polinomi su $\mathbb{R}$ che ti aiuta a concludere: a quale proprieta' mi riferisco? Quale e' la chiusura di $X$ nella topologia euclidea di \(\mathbb{R}^2 \)?
In alternativa, puoi supporre di avere un polinomio in due variabili $f(x,y)$ che si annulla su $Y$, ma non su $(1,1)$. Siccome $Y$ e' contenuto in $X$, puoi fare una sostituzione in $f$ e ottenere un polinomio in una variabile. Poi come si conclude?
Nota bene: In questo modo si dimostra che $X$ non e' una varieta' affine chiusa in \(\mathbb{R}^2\) con questo embedding. Come varieta' algebrica tuttavia, $X$ e' una bellissima varieta' affine isomorfa, ad esempio, all'iperbole definita da $xy -1$.
C'e' una proprieta' topologica dei polinomi su $\mathbb{R}$ che ti aiuta a concludere: a quale proprieta' mi riferisco? Quale e' la chiusura di $X$ nella topologia euclidea di \(\mathbb{R}^2 \)?
In alternativa, puoi supporre di avere un polinomio in due variabili $f(x,y)$ che si annulla su $Y$, ma non su $(1,1)$. Siccome $Y$ e' contenuto in $X$, puoi fare una sostituzione in $f$ e ottenere un polinomio in una variabile. Poi come si conclude?
Nota bene: In questo modo si dimostra che $X$ non e' una varieta' affine chiusa in \(\mathbb{R}^2\) con questo embedding. Come varieta' algebrica tuttavia, $X$ e' una bellissima varieta' affine isomorfa, ad esempio, all'iperbole definita da $xy -1$.
Ok, se facessi così:
I polinomi che si annullano (anche) su $X$ sono quelli contenuti nell'ideale $I=$, questi però si annullano su tutto $Y=X\cup\{(1,1\}$ quindi $X$ non è una varietà affine.
Potrebbe andare? (per un esame di geometria)
I polinomi che si annullano (anche) su $X$ sono quelli contenuti nell'ideale $I=
Potrebbe andare? (per un esame di geometria)
Sì; in quanto dimostri che \(\displaystyle X\) non è un sottoinsieme chiuso del piano affine rispetto alla topologia di Zariski. 
L'idea e' giusta ma direi che la prima affermazione richiede una giustificazione, che e' proprio il senso dell'esercizio.
[non avevo visto la risposta precedente...]
[non avevo visto la risposta precedente...]
"j18eos":
Sì; in quanto dimostri che \(\displaystyle X\) non è un sottoinsieme chiuso del piano affine rispetto alla topologia di Zariski.
Grazie, questa topologia deve essere molto interessante da essere usata ma la conosco solo di fama
"Pappappero":
L'idea e' giusta ma direi che la prima affermazione richiede una giustificazione, che e' proprio il senso dell'esercizio.
grazie anche a te, è proprio quella parte quella che non riesco a formulare e per la quale chiedo aiuto... Se sai come si fa ti chiedo di scriverlo
P.S. Ho poca conoscenza della geometria algebrica (perdono)
Un modo "cheap" e' usare la continuita' dei polinomi nella topologia euclidea di $RR ^2$. Siccome il luogo degli zeri di un polinomio in due variabili deve essere chiuso (retroimmagine di $0$ attraverso una funzione continua), concludi perche' $(1,1)$ e' limite di punti di $X$.
Pero' il fatto che vuoi dimostrare e' vero in generale, tutte le volte che hai uno spazio affine su un campo infinito (anche senza una topologia naturale in cui e' facile fare limiti, come e' quella euclidea). Quindi facciamolo in un modo in cui si usa davvero la geometria algebrica.
$X$ e' contenuto in $Y = \{ (x,y) : x = y\}$. Quindi su $X$ vale la relazione $x = y$.
Vogliamo vedere che un polinomio in due variabili che si annulla su $X$ si annulla anche su $(1,1)$. Prendiamo $f$ polinomio in due variabili e supponiamo che si annulli su $X$. Consideriamo la restrizione ad $Y$ di questo polinomio (meglio, della funzione polinomiale che esso definisce). Su $Y$ vale la relazione $x = y$, quindi possiamo sostituire $x = y$ nel polinomio, ottenendo che i valori che $f(x,y)$ assume su $Y$ sono gli stessi di $\phi (x) = f(x,x)$.
Ora, $\phi(x)$ e' un polinomio in una variabile, che definisce una funzione su $Y$. Se non e' identicamente nullo su $Y$, il suo insieme di zeri deve essere finito (tanti quante le radici del polinomio $\phi(x)$). Ma $X$ e' un insieme infinito, quindi otteniamo che $\phi(x)$ definisce la funzione identicamente nulla su $Y$, che fa $0$ anche su $(1,1)$.
Pero' il fatto che vuoi dimostrare e' vero in generale, tutte le volte che hai uno spazio affine su un campo infinito (anche senza una topologia naturale in cui e' facile fare limiti, come e' quella euclidea). Quindi facciamolo in un modo in cui si usa davvero la geometria algebrica.
$X$ e' contenuto in $Y = \{ (x,y) : x = y\}$. Quindi su $X$ vale la relazione $x = y$.
Vogliamo vedere che un polinomio in due variabili che si annulla su $X$ si annulla anche su $(1,1)$. Prendiamo $f$ polinomio in due variabili e supponiamo che si annulli su $X$. Consideriamo la restrizione ad $Y$ di questo polinomio (meglio, della funzione polinomiale che esso definisce). Su $Y$ vale la relazione $x = y$, quindi possiamo sostituire $x = y$ nel polinomio, ottenendo che i valori che $f(x,y)$ assume su $Y$ sono gli stessi di $\phi (x) = f(x,x)$.
Ora, $\phi(x)$ e' un polinomio in una variabile, che definisce una funzione su $Y$. Se non e' identicamente nullo su $Y$, il suo insieme di zeri deve essere finito (tanti quante le radici del polinomio $\phi(x)$). Ma $X$ e' un insieme infinito, quindi otteniamo che $\phi(x)$ definisce la funzione identicamente nulla su $Y$, che fa $0$ anche su $(1,1)$.
@Ghio Scusami, ma se mi scrivi che stiamo considerando varietà affini nel senso della geometria algebrica, io penso alla topologia di Zariski; se scrivi che stiamo considerando varietà affini nel senso della geometria differenziale, io penso alla topologia naturale (reale o complessa).
Quindi: vuoi dimostrare che \(\displaystyle X\) non è il luogo degli zeri di una famiglia di polinomi?, senza scomodare topologie e funzioni continue...
Quindi: vuoi dimostrare che \(\displaystyle X\) non è il luogo degli zeri di una famiglia di polinomi?, senza scomodare topologie e funzioni continue...
Si volevo dimostrare che X non è il luogo degli zeri di una famiglia di polinomi, scomodando il meno possibile topologie e funzioni continue (mi serve la continuità delle funzioni polinomiali). Direi che la risposta di @Pappappero è soddisfacente e abbastanza precisa, vero?
Ma sì!
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