Mostrare che $L(k,V)~= V$
(da Robert Hassermann, Tensors & Manifolds, p. 14)
La mia idea, che è anche quella del libro, è che ogni elemento non nullo di $k$ è una sua base se visto come spazio vettoriale. Gli elementi di $L(k,V)$ allora sarebbero le funzioni che mandano, ad esempio, l'unità di $k$ in un vettore $u\in V$. Chiaramente due diverse immagini generano due diverse funzioni, e dunque l'isomorfismo cercato dovrebbe essere quello che associa $u\in V$ alla funzione che manda $1$ in $u$.
L'esercizio dovrebbe essere risolto, ma mi resta qualche dubbio:
-com'è fatta una base di $L(k,V)$?
-l'isomorfismo è non canonico, dato che si è "scelta una base" su $k$?
-(mera curiosità) com'è fatto il duale di $L(k,V)$?
Grazie delle risposte
Sia $V$ uno spazio vettoriale sul corpo $k$, mostrare che $L(k,V)$ (applicazioni lineari da $k$ in $V$) è isomorfo a $V$.
La mia idea, che è anche quella del libro, è che ogni elemento non nullo di $k$ è una sua base se visto come spazio vettoriale. Gli elementi di $L(k,V)$ allora sarebbero le funzioni che mandano, ad esempio, l'unità di $k$ in un vettore $u\in V$. Chiaramente due diverse immagini generano due diverse funzioni, e dunque l'isomorfismo cercato dovrebbe essere quello che associa $u\in V$ alla funzione che manda $1$ in $u$.
L'esercizio dovrebbe essere risolto, ma mi resta qualche dubbio:
-com'è fatta una base di $L(k,V)$?
-l'isomorfismo è non canonico, dato che si è "scelta una base" su $k$?
-(mera curiosità) com'è fatto il duale di $L(k,V)$?
Grazie delle risposte
Risposte
Scusa ma con $L(K,V)$ indichi lo spazio delle applicazioni lineari da un campo $K$ allo spazio vettoriale $V$ costruito sullo stesso campo?
Esattamente (edito una cosa importante, $V$ ha dimensione finita su $k$).
C'è una cosa che non capisco: come sono fatte le applicazioni lineari da $K$ in $V$? Cioè, se l'applicazione va da $V$ in $K$, lo capisco, ma lineare da $K$ in $V$? Sono per caso tutte quelle che fanno questo:
$f(\alpha+\beta)=f(\alpha)+f(\beta)$ ?
Mi sembra un po' pochino!
$f(\alpha+\beta)=f(\alpha)+f(\beta)$ ?
Mi sembra un po' pochino!
Una base di $k$ è fatta da un qualunque suo elemento non nullo, prendiamo per esempio $1_k$.
Ora, una funzione lineare manderà $1_k$ in un vettore, diciamo $w$, e un qualunque elemento di $k$ è una "combinazione lineare" di $1_k$, $\alpha =\alpha\cdot 1_k$.
A questo punto il resto non è difficile, la funzione che manda 1 in v è lineare perchè $\alpha$ va in $\alpha v$ ecc. ecc...
Ora, una funzione lineare manderà $1_k$ in un vettore, diciamo $w$, e un qualunque elemento di $k$ è una "combinazione lineare" di $1_k$, $\alpha =\alpha\cdot 1_k$.
A questo punto il resto non è difficile, la funzione che manda 1 in v è lineare perchè $\alpha$ va in $\alpha v$ ecc. ecc...
Allora hai risolto, non ti pare? Ogni funzione lineare resta associata ad un vettore fissato di $V$. Quindi quante sono queste applicazioni lineari? Esattamente quanti sono i vettori di $V$ e quindi $L(K,V)\approx V$.
Io pensavo invece che la tua richiesta riguardasse l'altro isomorfismo, cioè che $L(V,K)\approx V$.
Io pensavo invece che la tua richiesta riguardasse l'altro isomorfismo, cioè che $L(V,K)\approx V$.
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