Monomorfismo
Buongiorno a tutti! Mi serverebbe un aiuto su un esercizio che avrei dovuto svolgere nell'ultimo appello di Algebra Lineare ma che mi ha messo in difficoltà. Spero possiate aiutari. L'esercizio dice:
"Si dimostri che la funzione $ f:mathbb(C) rarr Mat2(mathbb(R)) $ definita da $ f(a+ib)=( ( a , b ),( -b , a ) ) $ è un monomorfismo di $ mathbb(R) $ -spazi vettoriali tale che $ f(zw)=f(z)f(w) $ per ogni z, w $ in $ $ mathbb(C) $ - Detto X il sottoinsieme delle matrici di rotazione, si determini il sottoinsieme $ Y=f^-1(X) $ e si stabilisca se Y è un $ mathbb(R) $ -sottospazio vettoriale di $ mathbb(C) $. Potrei sfruttare il fatto che la funzione è iniettiva se e solo se il Ker=0, ma non riesco a formalizzarlo.
"Si dimostri che la funzione $ f:mathbb(C) rarr Mat2(mathbb(R)) $ definita da $ f(a+ib)=( ( a , b ),( -b , a ) ) $ è un monomorfismo di $ mathbb(R) $ -spazi vettoriali tale che $ f(zw)=f(z)f(w) $ per ogni z, w $ in $ $ mathbb(C) $ - Detto X il sottoinsieme delle matrici di rotazione, si determini il sottoinsieme $ Y=f^-1(X) $ e si stabilisca se Y è un $ mathbb(R) $ -sottospazio vettoriale di $ mathbb(C) $. Potrei sfruttare il fatto che la funzione è iniettiva se e solo se il Ker=0, ma non riesco a formalizzarlo.
Risposte
Potresti sfruttarlo, e in effetti funziona: se $f(a+ib)=0$, è evidente che $a,b$ sono entrambi nulli...
ok, quindi dovrei mostrare prima che è lineare, poi che il ker è 0 e infine la condizione f(zw)=f(z)f(w). Mentre per quanto riguarda il secondo punto? 
Mostro che è lineare. $ f(a+ib+c+id)=( ( a+c , b+d ),( -b-d , a+c) ) =( ( a , b ),( -b , a ) ) +( ( c , d ),( -d , c ) )=f(a+ib)+f(c+id) $ $ f(lambda (a+ib))=( ( lambdaa , lambdab ),( -lambdab , lambdaa ) )=lambda( ( a , b ),( -b , a ) )=lambdaf(a+ib) $ .
$ f((a+ib))=0 $ se e solo se $ a=b=0 $ quindi il ker è nullo e f è iniettiva. fin qui è giusto?
Mi rimane la parte f(zw)=f(z)f(w) e l'altro quesito.
$ f((a+ib))=0 $ se e solo se $ a=b=0 $ quindi il ker è nullo e f è iniettiva. fin qui è giusto?
Mi rimane la parte f(zw)=f(z)f(w) e l'altro quesito.
Il monomorfismo è ok.
Ora applica la definizione data.
Devi mostrare che $f(zw)=( ( ac-bd , ad+bc ),( -ad-bc , ac-bd ) )=f(z)f(w)=( ( a , b ),( -b , a ) )( ( c , d ),( -d , c ) ) $
Basta fare l'ultimo prodotto per sincerarsene.
Ora applica la definizione data.
Devi mostrare che $f(zw)=( ( ac-bd , ad+bc ),( -ad-bc , ac-bd ) )=f(z)f(w)=( ( a , b ),( -b , a ) )( ( c , d ),( -d , c ) ) $
Basta fare l'ultimo prodotto per sincerarsene.
Per le matrici di rotazione invece, è importante ricordare che sono ortogonali (quindi le colonne sono sempre lin. indipendenti, ergo invertibili...sempre) e le colonne sono ortonormali.
E' facile vedere che $ab-ba=0$ e quindi tutte le applicazioni soddisfano l'ortogonalità ma le colonne devono essere dei versori, quindi devono avere magnitudine = 1. Ovvero il sottoinsieme X è composto dalle matrici che soddisfano la condizione $sqrt(a^2+b^2)=1$ quindi $a^2+b^2=1$
E' facile vedere che $ab-ba=0$ e quindi tutte le applicazioni soddisfano l'ortogonalità ma le colonne devono essere dei versori, quindi devono avere magnitudine = 1. Ovvero il sottoinsieme X è composto dalle matrici che soddisfano la condizione $sqrt(a^2+b^2)=1$ quindi $a^2+b^2=1$
grazie mille!
Prego, ma non è finita!
Cosa sarà il sottoinsieme Y?
Cosa sarà il sottoinsieme Y?
In realta stavo ragionando sul fatto che $ X={Ain Mat_2(mathbb(R) ) : ( ( costheta , sentheta ),( -sentheta , costheta ) ) } $ quindi se considero un numero complesso $ z=r(costheta+isentheta) $ con $ 0<=theta<=2pi $ secondo la funzione definita sopra
$ f^-1(X)=r(costheta+isentheta) $ e non è un sottospazio vettoriale in quanto lo 0 non vi appartiene, perché seno e coseno non si annullano mai contemporaneamente.
$ f^-1(X)=r(costheta+isentheta) $ e non è un sottospazio vettoriale in quanto lo 0 non vi appartiene, perché seno e coseno non si annullano mai contemporaneamente.
Hai appena dimostrato che $f$ è un monomorfismo di $RR$-algebre; la controimmagine di un sottogruppo (quando pensi le rotazioni come sottogruppo di GL) deve essere un sottogruppo (cui in generale devi aggiungere il nucleo di $f$, ma questa è iniettiva...). Raramente i sottogruppi di matrici sono sottospazi vettoriali -per la ragione che hai detto tu: non ci può stare lo zero, che non è invertibile-
E' esatto.
In particolare r=1 e il sottospazio Y è la circonferenza unitaria.
In particolare r=1 e il sottospazio Y è la circonferenza unitaria.
Grazie mille a tutti!
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