Moltiplicare scalarmente membri equazione vettoriale

[Sk_Anonymous]

Salve, supponiamo di avere l'equazione vettoriale $vec x=vec y xx vec z$. Se moltiplico scalarmente entrambi i membri dell'equazione per un certo vettore $vec a$, ottenendo quindi l'equazione $vec x * vec a=(vec y xx vec z)* vec a$, le soluzioni della seconda equazione sono le stesse della prima?
Grazie!

[yellow2]

No.
La prima è equivalente a $vecx - vecy xx vecz = 0$, mentre la seconda a $(vecx - vecy xx vecz) * veca = 0$, ossia a $vecx - vecy xx vecz$ perpendicolare a $veca$, il che non vuol dire necessariamente nullo.

[Sk_Anonymous]

Ciao, non mi è tanto chiaro.
L'equazione che ho io è quella detta "formula fondamentale della cinematica rigida", cioè $vec v_P=vec v_Q+vec w xx vec QP$.
Ora che significa moltiplicare scalarmente entrambi i membri per $w$? Grazie!

[yellow2]

Guarda non conosco quell'equazione e neanche voglio addentrarmici, ma cos'è che non ti è chiaro della mia risposta? Ero anzi tornato per chiederti se ci avessi pensato almeno un paio di minuti prima di chiedere aiuto sul forum, vista la semplicità del fatto.

[Sk_Anonymous]

"lisdap":
...che significa moltiplicare scalarmente entrambi i membri per $vecw$

Si tratta di una semplice implicazione:

$[veca=vecb] rarr[veca*vecc=vecb*vecc]$

[Sk_Anonymous]

Ciao, allora, prendiamo l'equazione $vec v_P=vec v_Q+vec w xx vec QP$ che ha come incognite $vec v_P$, $vec v_Q$, $vec w$ e $vec QP$. Se moltiplico scalarmente entrambi i membri di questa equazione per $vec w$, ottengo l'equazione
$vec v_P*vec w=vec v_Q * vec w+(vec w xx vec QP)*vec w$.
Domanda: la prima equazione ha delle soluzioni (parecchie). Le soluzioni della seconda sono le stesse della prima?
Se no, perchè?

[Sk_Anonymous]

La formula fondamentale della cinematica dei corpi rigidi:

$[vec(v_P)=vec(v_O)+vecomega^^(P-O)]$

è uno strumento mediante il quale si può calcolare la velocità di un generico punto conoscendo la velocità di un particolare punto e la velocità angolare. Di quali incognite stai parlando?

"speculor":
Si tratta di una semplice implicazione:

$[veca=vecb] rarr[veca*vecc=vecb*vecc]$

Non ho capito, ti stupisce pure questa?

[Sk_Anonymous]

Ecco, quella delle incognite è una cosa che non mi è chiara. Le incognite di quella formula sono solo $vec v_P$?

[Sk_Anonymous]

Lascia perdere le incognite. Questo modo di procedere viene generalmente utilizzato per dedurre delle proprietà da una formula dimostrata in precedenza.

"speculor":
Si tratta di una semplice implicazione:

$[veca=vecb] rarr[veca*vecc=vecb*vecc]$

Insomma, mica vorrai dire che quella implicazione è falsa?

[Sk_Anonymous]

"speculor":
Insomma, mica vorrai dire che quella implicazione è falsa?

No, non dico che è falsa.
Infatti consideriamo per esempio l'equazione $vec x=vec y$. Una delle tante soluzioni è data dai vettori $(1,2,3), (1,2,3)$.
Se moltiplichiamo l'equazione di prima per un vettore a caso, per esempio $vec a=(2,3,5)$, otteniamo:
$(2,3,5)*vec x=(2,3,5)*vec y$, e i vettori di prima sono ancora soluzione.

[Sk_Anonymous]

"lisdap":
No, non dico che è falsa.

Ci mancherebbe. Non vedo assolutamente la necessità di "ancorare" la deduzione alla formula di partenza. Anche perchè, nel corso della deduzione, la formula di partenza potrebbe cambiare notevolmente. Lo scopo è quello di ottenere una proprietà vera deducendola da un'altra precedentemente dimostrata. Insomma, logica deduttiva. Punto.

[Seneca1]

Oppure potrebbe essere utile per stabilire che la formula di partenza non è vera, come qui. La supponi vera e, attraverso una serie di deduzioni, giungi ad un assurdo.

[Sk_Anonymous]

"speculor":
Ci mancherebbe. Non vedo assolutamente la necessità di "ancorare" la deduzione alla formula di partenza. Anche perchè, nel corso della deduzione, la formula di partenza potrebbe cambiare notevolmente. Lo scopo è quello di ottenere una proprietà vera deducendola da un'altra precedentemente dimostrata. Insomma, logica deduttiva. Punto.

Ciao, se ho capito bene, tu mi stai dicendo questo. Misurando ad un certo istante le quantità $vec v_P, vec v_Q, vec w, vec QP$, la formula fondamentale della cinematica rigida ci dice che $vec v_P=vec v_Q+vec w xx vec QP$ è un'identità. Moltiplicando scalarmente entrambi i membri per la quantità $vec w$, otteniamo $vec v_P * vec w=vec v_Q * vec w+(vec w xx vec QP) * vec w$ che continua ad essere un'identità, per l'implicazione che hai scritto prima. La quantità $(vec w xx vec QP) * vec w$ è però nulla, quindi l'uguaglianza di prima si riduce all'identità $vec v_P * vec w=vec v_Q * vec w$.
Se ora allo stesso istante prendiamo un altro punto $P'$ del corpo rigido, diverso da quello di prima, mentre lasciamo invariati $Q$ ($vec w$ rimane sempre lo stesso) e quindi $vec v_Q$, si verifica che queste quantità messe nella stessa formula della cinematica rigida danno ovviamente un'identità. Moltiplicando scalarmente per $vec w$ entrambi i membri dell'identità e considerando che l'ultimo membro dell'identità, come prima, è nullo, abbiamo che $vec v_P' *vec w=vec v_Q*vec w$. Ma la quantità a secondo membro è la stessa di prima, quindi deduciamo che al variare del punto $P$ considerato, il prodotto della sua velocità per $vec w$ è invariante.
Va bene?

P.S=per i moderatori, forse a questo punto è meglio spostare nella sezione fisica.

[Sk_Anonymous]

Se ho capito bene, vuoi dimostrare che la componente della velocità di un generico punto lungo la direzione individuata dall'asse di istantanea rotazione è sempre la stessa. Fai prima così:

$[vec(v_P)=vec(v_O)+vecomega^^(P-O)] rarr [vec(v_P)*vecomega=vec(v_O)*vecomega+vecomega^^(P-O)*vecomega] rarr [vec(v_P)*vecomega=vec(v_O)*vecomega]$

Non vedo la necessità di considerare un terzo punto. Del resto, $P$ e $O$ sono due generici punti del corpo rigido in esame.

"Seneca":
Oppure potrebbe essere utile per stabilire che...

Modus ponens, modus tollens.