Molteplicità algebrica e geometrica autospazio
Ciao a tutti!
E' da tempo che ho un dubbio sulla dimostrazione di un teorema di algebra che il mio professore propone. Ve lo enuncio e dimostro (come lui avrebbe fatto) evidenziando in rosso le parti che non mi convincono e che successivamente spiegherò come avrei sostituito. Vi sarei infinitamente grato se aveste voglia di leggere qualche riga e darmi una mano a risolvere questo rompicapo (almeno per me
).
Teorema Sia $E$ un sottospazio vettoriale di dimensione $n$, $f \in End(E)$ e $\lambda'$ un suo autovalore con molteplicità algebrica $r$ e molteplicità geometrica $s$. Allora risulta $1<=s<=r$.
Dimostrazione
Poiché $\lambda'$ è un autovalore di $f$, esiste in $E$ almeno un autovettore non nullo $\bar v$ ad esso associato, dunque $s >= 1$.
Sia $B'=(\bar v_1,..,\bar v_s)$ una base di $E_{\lambda'}$ ed allo scopo di provare la limitazione superiore supponiamo provvisoriamente che $s >= r + 1$ (*). E' possibile completare $B'$ a base di $E$ scegliende opportunamente $n-s$ vettori di $E$: $B = (\bar v_1,..,\bar v_s,\bar u_1,..,\bar u_{n-s})$.
Calcolando le immagini in $f$ dei vettori di $B$ decomposte rispetto alla base $B$ si ha:
Da cui è possibile costruire la matrice caratteristica di $f$ relativa a $B$:
Ne segue che l'equazione caratteristica di $f$ (per il teo. di Laplace generalizzato) è:
sicché l'autovalore $\lambda '$ avrebbe molteplicità algebrica almeno $s$ (**), contro quanto supposto.
__________
(*) e (**) Senza sfruttare l'ipotesi che $s>=r+1$ dall'equazione caratteristica risulta che $r>=s$, che è proprio quello che cercavamo di dimostrare. Mi chiedo allora per quale motivo supporre $s>=r+1$ e, inoltre, se fosse corretto fare tale ipotesi, giungere all'assurdo $r+1<=s<=r$ cosa ci permette di concludere?
Grazie a tutti ragazzi
E' da tempo che ho un dubbio sulla dimostrazione di un teorema di algebra che il mio professore propone. Ve lo enuncio e dimostro (come lui avrebbe fatto) evidenziando in rosso le parti che non mi convincono e che successivamente spiegherò come avrei sostituito. Vi sarei infinitamente grato se aveste voglia di leggere qualche riga e darmi una mano a risolvere questo rompicapo (almeno per me
). Teorema Sia $E$ un sottospazio vettoriale di dimensione $n$, $f \in End(E)$ e $\lambda'$ un suo autovalore con molteplicità algebrica $r$ e molteplicità geometrica $s$. Allora risulta $1<=s<=r$.
Dimostrazione
Poiché $\lambda'$ è un autovalore di $f$, esiste in $E$ almeno un autovettore non nullo $\bar v$ ad esso associato, dunque $s >= 1$.
Sia $B'=(\bar v_1,..,\bar v_s)$ una base di $E_{\lambda'}$ ed allo scopo di provare la limitazione superiore supponiamo provvisoriamente che $s >= r + 1$ (*). E' possibile completare $B'$ a base di $E$ scegliende opportunamente $n-s$ vettori di $E$: $B = (\bar v_1,..,\bar v_s,\bar u_1,..,\bar u_{n-s})$.
Calcolando le immagini in $f$ dei vettori di $B$ decomposte rispetto alla base $B$ si ha:
\(\displaystyle
\begin{matrix}
\forall i \in \{1,..,s\}: & f(\bar v_i) = \lambda' \bar v_i \\
\forall h\in \{1,..,n-s\}: & f(\bar u_h) = \sum_{i=1}^s a_{ih}\bar v_i + \sum_{j=1}^{n-s} b_{jh}\bar u_j
\end{matrix}
\)
\begin{matrix}
\forall i \in \{1,..,s\}: & f(\bar v_i) = \lambda' \bar v_i \\
\forall h\in \{1,..,n-s\}: & f(\bar u_h) = \sum_{i=1}^s a_{ih}\bar v_i + \sum_{j=1}^{n-s} b_{jh}\bar u_j
\end{matrix}
\)
Da cui è possibile costruire la matrice caratteristica di $f$ relativa a $B$:
\(\displaystyle
A = \begin{bmatrix}
\lambda ' & \cdots & 0 & a_{1,1} & \cdots & a_{1,n-s} \\
\vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & \lambda ' & a_{s,1} & \cdots & a_{s,n-s} \\
0 & \cdots & 0 & b_{1,1} & \cdots & b_{1,n-s} \\
\vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & 0 & b_{n-s,1} & \cdots & b_{n-s,n-s} \\
\end{bmatrix}
\)
A = \begin{bmatrix}
\lambda ' & \cdots & 0 & a_{1,1} & \cdots & a_{1,n-s} \\
\vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & \lambda ' & a_{s,1} & \cdots & a_{s,n-s} \\
0 & \cdots & 0 & b_{1,1} & \cdots & b_{1,n-s} \\
\vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & 0 & b_{n-s,1} & \cdots & b_{n-s,n-s} \\
\end{bmatrix}
\)
Ne segue che l'equazione caratteristica di $f$ (per il teo. di Laplace generalizzato) è:
\(\displaystyle |A-\lambda I_n| = (\lambda ' - \lambda)^s
\begin{vmatrix}
b_{1,1}-\lambda & \cdots & b_{1,n-s} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
b_{n-s,1} & \cdots & b_{n-s,n-s}-\lambda \\
\end{vmatrix}
\)
\begin{vmatrix}
b_{1,1}-\lambda & \cdots & b_{1,n-s} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
b_{n-s,1} & \cdots & b_{n-s,n-s}-\lambda \\
\end{vmatrix}
\)
sicché l'autovalore $\lambda '$ avrebbe molteplicità algebrica almeno $s$ (**), contro quanto supposto.
__________
(*) e (**) Senza sfruttare l'ipotesi che $s>=r+1$ dall'equazione caratteristica risulta che $r>=s$, che è proprio quello che cercavamo di dimostrare. Mi chiedo allora per quale motivo supporre $s>=r+1$ e, inoltre, se fosse corretto fare tale ipotesi, giungere all'assurdo $r+1<=s<=r$ cosa ci permette di concludere?
Grazie a tutti ragazzi
Risposte
Piccolo up, idee? 
Nessuna idea? 
Spero di non andare contro nessuna regola del forum per postare questo link ma qui ho trovato la dimostrazione di questo nel modo più chiaro (anche io ho avuto un po' di problemi nel capirla qualche settimana fa)
dimostrazione
dimostrazione
"Thyeme":
Spero di non andare contro nessuna regola del forum per postare questo link ma qui ho trovato la dimostrazione di questo nel modo più chiaro (anche io ho avuto un po' di problemi nel capirla qualche settimana fa)
dimostrazione
Ti ringrazio, perché in quella discussione trovo la conferma che l'ipotesi iniziale $s>=r+1$ è del tutto inutile e, anzi, oserei direi sbagliata
Se qualcuno avesse qualcos'altro da aggiungere, son sempre qui!
Grazie ancora Thyeme!
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