Minimizzare la distanza
Buongiorno,
Scusate la mia ignoranza, ma ho trovato un esercizio d'esame degli anni passati e onde evitare sorprese mi sono messo a farlo...
Sul mio libro non sono riuscito a trovare una soluzione alla domanda di questo esercizio... magari non le spiega più queste cose...
Comunque l'esercizio è il seguente:
Si determinino le $x inRR^3$ che minimizzano la distanza (rispetto al prodotto scalare canonico in $RR^3$)
di $x_1((1),(1),(1))+x_2((1),(3),(2))+x_3((-3),(1),(-1))$ da $((2),(4),(-3))$
Premetto che conosco la distanza... ma cosa vuol dire minimizzare? Avevo pensato che la distanza dovesse essere 0...
In tal modo mi era venuto da pensare a calcolare la distanza della combinazione lineare sopra da quel vettore e uguagliarla a 0...
Di sicuro ho sparato una stupidaggine... sarebbe una banalità...
Qualcuno in rete ha un'idea molto più solida?
Grazie anticipatamente,
Andrea
Scusate la mia ignoranza, ma ho trovato un esercizio d'esame degli anni passati e onde evitare sorprese mi sono messo a farlo...
Sul mio libro non sono riuscito a trovare una soluzione alla domanda di questo esercizio... magari non le spiega più queste cose...
Comunque l'esercizio è il seguente:
Si determinino le $x inRR^3$ che minimizzano la distanza (rispetto al prodotto scalare canonico in $RR^3$)
di $x_1((1),(1),(1))+x_2((1),(3),(2))+x_3((-3),(1),(-1))$ da $((2),(4),(-3))$
Premetto che conosco la distanza... ma cosa vuol dire minimizzare? Avevo pensato che la distanza dovesse essere 0...
In tal modo mi era venuto da pensare a calcolare la distanza della combinazione lineare sopra da quel vettore e uguagliarla a 0...
Di sicuro ho sparato una stupidaggine... sarebbe una banalità...
Qualcuno in rete ha un'idea molto più solida?
Grazie anticipatamente,
Andrea
Risposte
Suggerimento: l'insieme degli $((X),(Y),(Z))\inRR^3$ che si possono scrivere come
$((X),(Y),(Z))=x_1((1),(1),(1))+x_2((1),(3),(2))+x_3((-3),(1),(-1))$
al variare di $x_1,x_2,x_3\in RR$, rappresenta un ....
$((X),(Y),(Z))=x_1((1),(1),(1))+x_2((1),(3),(2))+x_3((-3),(1),(-1))$
al variare di $x_1,x_2,x_3\in RR$, rappresenta un ....
...un... vettore, secondo me... combinazione lineare di quello spazio vettoriale...^^
Quindi Cirasa devo fare la distanza?! ma era giusta come proposta la mia?
Quindi Cirasa devo fare la distanza?! ma era giusta come proposta la mia?
Cirasa o qualcun altro in rete saprebbe rispondere a questo mio dubbio?
https://www.matematicamente.it/forum/ret ... 51388.html
Grazie ancora!^^
https://www.matematicamente.it/forum/ret ... 51388.html
Grazie ancora!^^
Il tuo insieme è $W=span((1),(1),(1)),((1),(3),(2)),((-3),(1),(-1))$
Innanzitutto osserva che la terza terna è combinazione lineare delle prime due. Quindi in realtà $W=span((1),(1),(1)),((1),(3),(2))$
Puoi controllare che $W$ è un piano che ha equazioni parametriche ${(X=a+b),(Y=a+3b),(Z=a+2b):}$
Trova le equazioni cartesiane del piano. Devi trovare il punto sul piano che minimizza la distanza dal punto $((2),(4),(-3))$.
Troverai un punto $P$. La soluzione dell'esercizio è data dalla terna $((a),(b),(0))$ corrispondente al punto $P$.
Innanzitutto osserva che la terza terna è combinazione lineare delle prime due. Quindi in realtà $W=span((1),(1),(1)),((1),(3),(2))$
Puoi controllare che $W$ è un piano che ha equazioni parametriche ${(X=a+b),(Y=a+3b),(Z=a+2b):}$
Trova le equazioni cartesiane del piano. Devi trovare il punto sul piano che minimizza la distanza dal punto $((2),(4),(-3))$.
Troverai un punto $P$. La soluzione dell'esercizio è data dalla terna $((a),(b),(0))$ corrispondente al punto $P$.
Giusto...
Non mi ero accorto di questa cosa...
Grazie mille Cirasa... XD
Non mi ero accorto di questa cosa...
Grazie mille Cirasa... XD
You're welcome! 
Scusa cirasa possiamo vedere dove sbaglio?
Premetto che se è un errore nelle equazioni cartesiane il motivo è che non ce le hanno mai mostrate... Ragionando credo che sia così...
${(X=a+b),(Y=a+3b),(Z=a+2b):}$
Adesso mi trovo le equazioni cartesiane del piano:
${(a=X-b),(Y=X-b+3b),(Z=X-b+2b):}$
${(a=X-b),(Y=X+2b),(Z=X+b):}$
${(a=X-b),(Y=X+2b),(b=Z-X):}$
${(a=X-b),(Y=X+2Z-2X),(b=Z-X):}$
${(X=a+b),(X+Y-2Z=0),(Z-X=b):}$
A questo punto ho ottenuto le equazioni cartesiane...
Come faccio a trovare il punto P?
Premetto che se è un errore nelle equazioni cartesiane il motivo è che non ce le hanno mai mostrate... Ragionando credo che sia così...
${(X=a+b),(Y=a+3b),(Z=a+2b):}$
Adesso mi trovo le equazioni cartesiane del piano:
${(a=X-b),(Y=X-b+3b),(Z=X-b+2b):}$
${(a=X-b),(Y=X+2b),(Z=X+b):}$
${(a=X-b),(Y=X+2b),(b=Z-X):}$
${(a=X-b),(Y=X+2Z-2X),(b=Z-X):}$
${(X=a+b),(X+Y-2Z=0),(Z-X=b):}$
A questo punto ho ottenuto le equazioni cartesiane...
Come faccio a trovare il punto P?
Perfetto, i punti dell'insieme (che prima ho chiamato $W$) sono i punti del piano di equazione $X+Y-2Z=0$.
Ora devi trovare il punto $P$ del piano che ha minima distanza da $Q((2),(4),(-3))$.
Osserva che il punto $Q$ non appartiene al piano. Quale sarà il punto $P$ del piano che ha minima distanza da $Q$?
Riflettici un po'. Se ci sono problemi ti darò un altro suggerimento.
Per adesso ti suggerisco di immaginare un piano e un punto che non vi appartiene....
Ora devi trovare il punto $P$ del piano che ha minima distanza da $Q((2),(4),(-3))$.
Osserva che il punto $Q$ non appartiene al piano. Quale sarà il punto $P$ del piano che ha minima distanza da $Q$?
Riflettici un po'. Se ci sono problemi ti darò un altro suggerimento.
Per adesso ti suggerisco di immaginare un piano e un punto che non vi appartiene....
Forse ci sono arrivato... il punto P secondo me non è altro che la proiezione ortogonale di
$((2),(4),(-3))$ sul piano $X+Y-2Z=0$.
Quindi mi vado a sostituire rispettivamente il parametro $a$ con $X$, $b$ con $Y$ e $0$ con $Z$ perché avevo dimostrato che c=0...
Quindi mi risulta $a=-b$
Pertanto andrò a dimostrare l'ortogonalità:
$((-b),(b),(0))*((2),(4),(-3))=0$
Da qui mi trovo b e a=-b...
Giusto o ho sparato una stupidaggine?
Grazie della pazienza,
Andre
$((2),(4),(-3))$ sul piano $X+Y-2Z=0$.
Quindi mi vado a sostituire rispettivamente il parametro $a$ con $X$, $b$ con $Y$ e $0$ con $Z$ perché avevo dimostrato che c=0...
Quindi mi risulta $a=-b$
Pertanto andrò a dimostrare l'ortogonalità:
$((-b),(b),(0))*((2),(4),(-3))=0$
Da qui mi trovo b e a=-b...
Giusto o ho sparato una stupidaggine?
Grazie della pazienza,
Andre
Ehm....no. Quando avrai trovato la proiezione ortogonale $P$ di $Q$ sul piano, avrai le sue coordinate $((X_P),(Y_P),(Z_P))$.
Scrivile come combinazione lineare del tipo
$((X_P),(Y_P),(Z_P))=x_1((1),(1),(1))+x_2((1),(3),(2))+x_3((-3),(1),(-1))$
(puoi anche prendere $x_3=0$ per le ragioni prima illustrate)
Trova $x_1$ e $x_2$
Il tuo risultato sarà $((x_1),(x_2),(0))$.
Scrivile come combinazione lineare del tipo
$((X_P),(Y_P),(Z_P))=x_1((1),(1),(1))+x_2((1),(3),(2))+x_3((-3),(1),(-1))$
(puoi anche prendere $x_3=0$ per le ragioni prima illustrate)
Trova $x_1$ e $x_2$
Il tuo risultato sarà $((x_1),(x_2),(0))$.
Scusa cirasa... adesso non ci capisco più nulla...
Quest'ultimo messaggio mi ha un po' sconvolto...
Io, trovata l'equazione cartesiana, cosa devo fare in parole povere?
Scusa ancora, ma ahimé un genio non lo sono...^^
Grazie
Quest'ultimo messaggio mi ha un po' sconvolto...
Io, trovata l'equazione cartesiana, cosa devo fare in parole povere?
Scusa ancora, ma ahimé un genio non lo sono...^^
Grazie
Dunque, il tuo insieme è formato da tutti quei punti le cui coordinate si possono scrivere come combinazione di quei tre vettori. Tu devi trovare i coefficienti $x_1,x_2,x_3$ "buoni" cioè quelli che poi formano la terna di coordinate del punto che minimizza la distanza.
Hai trovato il punto $P$ che è quello che minimizza la distanza, cioè hai scoperto che è la proiezione ortogonale di $Q$ sul piano.
Ora trova le coordinate di questo punto.
Poi scrivi le coordinate di quel punto come combinazione lineare di quei tre vettori. I coefficienti della combinazione lineare saranno la soluzione del tuo problema.
Hai trovato il punto $P$ che è quello che minimizza la distanza, cioè hai scoperto che è la proiezione ortogonale di $Q$ sul piano.
Ora trova le coordinate di questo punto.
Poi scrivi le coordinate di quel punto come combinazione lineare di quei tre vettori. I coefficienti della combinazione lineare saranno la soluzione del tuo problema.
Ok!
Ora mi torna tutto... Non avevo capito a cosa mi erano serviti quei passaggi... grazie ancora Cirasa!
Ora mi torna tutto... Non avevo capito a cosa mi erano serviti quei passaggi... grazie ancora Cirasa!
Prego
Cirasa... Allora butto giù un po' di numeri x controllare...XD...
$P=((2),(4),(3))$
$x=((1),(1),(0))$
La accendiamo?
$P=((2),(4),(3))$
$x=((1),(1),(0))$
La accendiamo?
Mi scrivi i conti che hai fatto per ottenere $P$? A me esce un risultato diverso...
Allora mi sa che ho sparato a un piccione...
io ho fatto così:
Chiamo h componente normale.
$h=((2),(4),(-3))-x_1((1),(1),(1))-x_2((1),(3),(2))-x_3((-3),(1),(-1))$
X_3 l'ho posto = a 0 per il discorso della combinazione lineare...
Ho visto che i parametri x_2 e x_1 si avvicinavano di più a essere $Q$ quando erano entrambi 1
Dunque:
$h=((0),(0),(-6))$
Quindi fatti i conti e andando a sostituire a P e alle x ho ottenuto quei valori...
Magno errore?
Non sapevo come utilizzare le formule trovate... e ho pensato a questo
io ho fatto così:
Chiamo h componente normale.
$h=((2),(4),(-3))-x_1((1),(1),(1))-x_2((1),(3),(2))-x_3((-3),(1),(-1))$
X_3 l'ho posto = a 0 per il discorso della combinazione lineare...
Ho visto che i parametri x_2 e x_1 si avvicinavano di più a essere $Q$ quando erano entrambi 1
Dunque:
$h=((0),(0),(-6))$
Quindi fatti i conti e andando a sostituire a P e alle x ho ottenuto quei valori...
Magno errore?
Non sapevo come utilizzare le formule trovate... e ho pensato a questo
Ti posto la mia soluzione. Controlla i miei conti.
Abbiamo detto precedentemente che il punto sul piano $X+Y-2Z=0$ che minimizza la distanza da $Q((2),(4),(-3))$ è la proiezione ortogonale $P$ di $Q$ sul piano.
Per calcolare questa proiezione ortogonale calcolo la retta perpendicolare al piano e passante per $P$ che ha equazione
$X-2=Y-4=\frac{Z+3}{-2}$
In equazione cartesiana:
${(X-Y+2=0),(2Y+Z-5=0):}$
Interseco questa retta con il piano ottenendo il punto $P$ cercato:
${(X-Y+2=0),(2Y+Z-5=0),(X+Y-2Z=0):}$
da cui (se non sbaglio i conti) si ottiene il punto $P$ di coordinate $((0),(2),(1))$.
Ora devo scrivere
$((0),(2),(1))=x_1((1),(1),(1))+x_2((1),(3),(2))+x_3((-3),(1),(-1))$
Posso porre $x_3=0$ per il discorso di prima e posso facilmente ottenere $x_1=-1$ e $x_2=1$
Quindi si ottiene il risultato del problema
$x=((-1),(1),(0))$
Abbiamo detto precedentemente che il punto sul piano $X+Y-2Z=0$ che minimizza la distanza da $Q((2),(4),(-3))$ è la proiezione ortogonale $P$ di $Q$ sul piano.
Per calcolare questa proiezione ortogonale calcolo la retta perpendicolare al piano e passante per $P$ che ha equazione
$X-2=Y-4=\frac{Z+3}{-2}$
In equazione cartesiana:
${(X-Y+2=0),(2Y+Z-5=0):}$
Interseco questa retta con il piano ottenendo il punto $P$ cercato:
${(X-Y+2=0),(2Y+Z-5=0),(X+Y-2Z=0):}$
da cui (se non sbaglio i conti) si ottiene il punto $P$ di coordinate $((0),(2),(1))$.
Ora devo scrivere
$((0),(2),(1))=x_1((1),(1),(1))+x_2((1),(3),(2))+x_3((-3),(1),(-1))$
Posso porre $x_3=0$ per il discorso di prima e posso facilmente ottenere $x_1=-1$ e $x_2=1$
Quindi si ottiene il risultato del problema
$x=((-1),(1),(0))$
A senso torna... eccome... la mia difficoltà stava nel capire come costruire la retta perpendicolare... anche perché non l'aveva mai spiegata a lezione e non c'è sul libro... di sicuro è stato un esercizio inutile perché non credo mi sarà richiesto, perché è stato dato a un esame del 2006, quindi prima della riforma universitaria... Comunque da un tipo come lui mi aspetto tutto...
Grazie mille Cirasa... Sono stato un po' duro come allievo ma ho capito ora...^^
Meglio sapere più di quanto richiesto che non sapere nulla... così possiamo avere un minimo di cultura...^^
Grazie mille Cirasa... Sono stato un po' duro come allievo ma ho capito ora...^^
Meglio sapere più di quanto richiesto che non sapere nulla... così possiamo avere un minimo di cultura...^^
Cirasa un'altra domanda per fissare i concetti..
Se io ho un vettore $v1$ e una base di W e devo calcolare la distanza di $v1$ dal piano,
Devo fare ugualmente lo stesso procedimento, arrivare a trovarmi la proiezione ortogonale $p$
del vettore sulla base e usare la formula della componente normale:
$h=v1-p$
dunque trovata h, fare la sua norma?
Se io ho un vettore $v1$ e una base di W e devo calcolare la distanza di $v1$ dal piano,
Devo fare ugualmente lo stesso procedimento, arrivare a trovarmi la proiezione ortogonale $p$
del vettore sulla base e usare la formula della componente normale:
$h=v1-p$
dunque trovata h, fare la sua norma?
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