Mi aiutate a capire i sistemi lineari?
Allora il 16 gennaio ho l'esame di matematica generale. Sto finendo, ma questo è un grande scoglio per me.
Diciamo che riesco a fare quasi tutto, ma uno degli esercizi che ancora non riesco a capire, sono i sistemi lineari, come quello che vedete in esempio.
Esercizio preso da un testo d'esame del 2007/2008
Studiare la risolubilità del sistema lineare
${ ( x + (k+1)y - kz = 2),( (k+1)x +4y -2z = 4),( -x -2y +kz = -k-1 ):}$
al variare del parametro $k in R$
So, che bisogna calcolare il determinante della matrice dei coefficienti, in questo caso. Ma poi, buio totale! (o quasi) Che si può fare? Conoscete dei metodi più o meno sintetici... non so..
Grazie a tutti coloro che proveranno ad aiutarmi...!
Diciamo che riesco a fare quasi tutto, ma uno degli esercizi che ancora non riesco a capire, sono i sistemi lineari, come quello che vedete in esempio.
Esercizio preso da un testo d'esame del 2007/2008
Studiare la risolubilità del sistema lineare
${ ( x + (k+1)y - kz = 2),( (k+1)x +4y -2z = 4),( -x -2y +kz = -k-1 ):}$
al variare del parametro $k in R$
So, che bisogna calcolare il determinante della matrice dei coefficienti, in questo caso. Ma poi, buio totale! (o quasi) Che si può fare? Conoscete dei metodi più o meno sintetici... non so..
Grazie a tutti coloro che proveranno ad aiutarmi...!
Risposte
lol da quando ho iniziato a studiare per matematica credo di aver contribuito notevolmente alla DEcrescita di questo forum 
Eccomi qui, adesso che ho liquidato quel Baldur sono pronto!
Prendiamo la matrice completa: $((k+1, 1, k, 1), (1, 1-k, 2k, 1))$.
Come notavi giustamente non è quadrata nè la completa nè l'incompleta. Bene: partiamo da un minore preso a caso! E' evidente che la matrice avrà almeno rango $1$ poichè esiste almeno un suo elemento non nullo. Prendo il minore $((k+1, 1), (1, 1-k))$ e studio la sua invertibilità: il suo determinante è $-k^2$ che si annulla per $k=0$.
Quindi posso dire che per $k != 0$ sia la matrice incompleta che quella completa hanno rango $2$, cioè il massimo possibile. Il sistema è risolvibile e la soluzione dipende da un parametro, nel nostro caso $z$.
Se invece $k=0$ andiamo a sostituire e otteniamo la seguente matrice: $((1, 1, 0, 1), (1, 1, 0, 1))$ dove è evidente che le righe sono uguali, quindi il rango è $1$. Il sistema è ancora risolvibile poichè i due ranghi sono uguali, ma stavolta la soluzione dipenderà da $2$ parametri.
Cosa ne dici? Abbiamo fatto un po' di chiarezza?
Prendiamo la matrice completa: $((k+1, 1, k, 1), (1, 1-k, 2k, 1))$.
Come notavi giustamente non è quadrata nè la completa nè l'incompleta. Bene: partiamo da un minore preso a caso! E' evidente che la matrice avrà almeno rango $1$ poichè esiste almeno un suo elemento non nullo. Prendo il minore $((k+1, 1), (1, 1-k))$ e studio la sua invertibilità: il suo determinante è $-k^2$ che si annulla per $k=0$.
Quindi posso dire che per $k != 0$ sia la matrice incompleta che quella completa hanno rango $2$, cioè il massimo possibile. Il sistema è risolvibile e la soluzione dipende da un parametro, nel nostro caso $z$.
Se invece $k=0$ andiamo a sostituire e otteniamo la seguente matrice: $((1, 1, 0, 1), (1, 1, 0, 1))$ dove è evidente che le righe sono uguali, quindi il rango è $1$. Il sistema è ancora risolvibile poichè i due ranghi sono uguali, ma stavolta la soluzione dipenderà da $2$ parametri.
Cosa ne dici? Abbiamo fatto un po' di chiarezza?
Ok, ma quando dici sia la matrice incompleta che quella completa hanno rango 2, ti riferisci al minore che hai preso a caso? Che essendo appunto quadrato e 2x2, avrà rango pari a 2?
E se questo è vero, la matrice completa qual è in questo caso? A quale matrice completa ti riferisci?
E se questo è vero, la matrice completa qual è in questo caso? A quale matrice completa ti riferisci?
"Baldur":
Ok, ma quando dici sia la matrice incompleta che quella completa hanno rango 2, ti riferisci al minore che hai preso a caso? Che essendo appunto quadrato e 2x2, avrà rango pari a 2?
E se questo è vero, la matrice completa qual è in questo caso? A quale matrice completa ti riferisci?
Il minore che ho considerato è un $2xx2$ quindi quando è invertibile ha rango $2$.
La matrice completa è $((k+1, 1, k, 1), (1, 1-k, 2k, 1))$ che è una $2xx4$ quindi anche lei come rango massimo ammetterà $2$.
"minomic":
[quote="Baldur"]Ok, ma quando dici sia la matrice incompleta che quella completa hanno rango 2, ti riferisci al minore che hai preso a caso? Che essendo appunto quadrato e 2x2, avrà rango pari a 2?
E se questo è vero, la matrice completa qual è in questo caso? A quale matrice completa ti riferisci?
Il minore che ho considerato è un $2xx2$ quindi quando è invertibile ha rango $2$.
La matrice completa è $((k+1, 1, k, 1), (1, 1-k, 2k, 1))$ che è una $2xx4$ quindi anche lei come rango massimo ammetterà $2$.[/quote]
Ecco, è proprio qui il punto. Da cosa si deduce che la completa avrà rango 2?
"Baldur":
[quote="minomic"][quote="Baldur"]Ok, ma quando dici sia la matrice incompleta che quella completa hanno rango 2, ti riferisci al minore che hai preso a caso? Che essendo appunto quadrato e 2x2, avrà rango pari a 2?
E se questo è vero, la matrice completa qual è in questo caso? A quale matrice completa ti riferisci?
Il minore che ho considerato è un $2xx2$ quindi quando è invertibile ha rango $2$.
La matrice completa è $((k+1, 1, k, 1), (1, 1-k, 2k, 1))$ che è una $2xx4$ quindi anche lei come rango massimo ammetterà $2$.[/quote]
Ecco, è proprio qui il punto. Da cosa si deduce che la completa avrà rango 2?[/quote]
Perchè quel minore che ho considerato è anche un minore $2xx2$ della completa! E quindi la completa avrà rango $2$.
Capito.
Madonna, un bordello di roba da ricordarsi :/ speriamo bene.
Veramente troppa roba.
Grazie ancora, ti farò sapere dell'esame. Sempre che te ne importi qualcosa
Madonna, un bordello di roba da ricordarsi :/ speriamo bene.
Veramente troppa roba.
Grazie ancora, ti farò sapere dell'esame. Sempre che te ne importi qualcosa
"Baldur":
Grazie ancora, ti farò sapere dell'esame. Sempre che te ne importi qualcosa
Certo che mi importa! Se non altro perchè in minima parte ho contribuito anche io!
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