Mi aiutate a capire i sistemi lineari?
Allora il 16 gennaio ho l'esame di matematica generale. Sto finendo, ma questo è un grande scoglio per me.
Diciamo che riesco a fare quasi tutto, ma uno degli esercizi che ancora non riesco a capire, sono i sistemi lineari, come quello che vedete in esempio.
Esercizio preso da un testo d'esame del 2007/2008
Studiare la risolubilità del sistema lineare
${ ( x + (k+1)y - kz = 2),( (k+1)x +4y -2z = 4),( -x -2y +kz = -k-1 ):}$
al variare del parametro $k in R$
So, che bisogna calcolare il determinante della matrice dei coefficienti, in questo caso. Ma poi, buio totale! (o quasi) Che si può fare? Conoscete dei metodi più o meno sintetici... non so..
Grazie a tutti coloro che proveranno ad aiutarmi...!
Diciamo che riesco a fare quasi tutto, ma uno degli esercizi che ancora non riesco a capire, sono i sistemi lineari, come quello che vedete in esempio.
Esercizio preso da un testo d'esame del 2007/2008
Studiare la risolubilità del sistema lineare
${ ( x + (k+1)y - kz = 2),( (k+1)x +4y -2z = 4),( -x -2y +kz = -k-1 ):}$
al variare del parametro $k in R$
So, che bisogna calcolare il determinante della matrice dei coefficienti, in questo caso. Ma poi, buio totale! (o quasi) Che si può fare? Conoscete dei metodi più o meno sintetici... non so..
Grazie a tutti coloro che proveranno ad aiutarmi...!
Risposte
Allora nel caso k=1 ho utilizzato il metodo di sostituzione, e mi è venuto cosi:
${ ( x = -2y +z +2 ),( 0 = 4 ),( 0 = 0 ):}$
Cosa vuol dire? Come vado avanti?
${ ( x = -2y +z +2 ),( 0 = 4 ),( 0 = 0 ):}$
Cosa vuol dire? Come vado avanti?
Ok, forse la soluzione migliore è questa: io posto tutta la soluzione completa con l'analisi di ogni caso e poi tu mi fai le domande su quello che non ti è chiaro. Così riesci anche a vedere l'esercizio tutto insieme. Cominciamo (anzi ricominciamo) dall'inizio.
Analizzo la matrice incompleta $[(1, k+1, -k), (k+1, 4, -2), (-1, -2, k)]$ e ne studio il rango. Per fare questo calcolo il determinante che viene $-k^3+3k-2$. Lo pongo uguale a zero e trovo che il determinante si annulla per $k=1 vv k=-2$.
1° CASO: $k != 1 ^^ k != -2$
La matrice non è singolare, quindi il rango è massimo, cioè è $3$. Ovviamente anche il rango della matrice completa sarà $3$, dato che l'incompleta è un minore $3xx3$ della completa. Quindi il sistema è risolvibile e ammette soluzione unica: la calcolo con il metodo di Cramer, tenendo presente che ho già il determinante dell'incompleta. Ne approfitto per fattorizzare il determinante e riscriverlo nel seguente modo: $-(k-1)^2(k+2)$.
Procedo a trovare la $x$ sostituendo la colonna dei termini noti al posto della prima colonna della matrice incompleta, ottenendo così la matrice $[(2, k+1, -k), (4, 4, -2), (-k-1, -2, k)]$. Calcolo il suo determinante e trovo $-6k^2+12k-6 = -6(k-1)^2$. Quindi, applicando Cramer, posso dire $x=(-6(k-1)^2)/(-(k-1)^2(k+2))=6/(k+2)$.
Procedo nello stesso identico modo per trovare la $y$ e la $z$ e alla fine viene il seguente vettore delle soluzioni: $((6/(k+2)), (-1), (-(k+5)/(k+2)))$. Fine del primo caso!
2° CASO: $k=1$
Questo $k=1$ sappiamo che annulla il determinante della matrice incompleta, che quindi non avrà rango $3$, ma avrà rango $1$ o $2$ (per i motivi che ti dicevo prima). Sostituisco il $k$ e trovo la seguente matrice completa: $[(1, 2, -1, 2), (2, 4, -2, 4), (-1, -2, 1, -2)]$. Penso che si veda ad occhio che la seconda riga è il doppio della prima mentre la terza è l'opposto della prima: applico due trasformazioni di riga che mi permettono di portare la matrice nella seguente forma: $[(1, 2, -1, 2), (0, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 0)]$. Quindi il rango è $1$ e la soluzione dipende da un numero di parametri pari a $3-1=2$. Infatti dalla prima riga si ricava immediatamente $x=2-2y+z$, cioè possiamo scegliere $y$ e $z$ a piacere e ricavare la $x$ di conseguenza. Ti faccio notare che avrei potuto isolare anche un'altra delle due incognite. In questo caso il vettore delle soluzioni diventa $((2-2y+z), (y), (z)) = ((2), (0), (0)) + y((-2), (1), (0)) + z((1), (0), (1))$ dove nell'ultima forma ho messo in evidenza i due parametri. Fine del secondo caso!
3° CASO: $k=-2$
Anche in questo caso sappiamo che $k=-2$ annulla il determinante dell'incompleta. Lo sostituisco e ottengo la seguente matrice completa: $[(1, -1, 2, 2), (-1, 4, -2, 4), (-1, -2, -2, 1)]$. Mi accorgo immediatamente che il rango dell'incompleta è $2$ dato che sicuramente non è $3$ (il determinante è $0$) ed esiste un minore $2xx2$ invertibile, ad esempio $[(1, -1), (-1, 4)]$. Devo ora capire se il rango della matrice completa è anch'esso $2$ oppure $3$. Per farlo parto dal minore che ho appena individuato e lo orlo con gli elementi della terza riga e quarta colonna della completa, ottenendo il seguente minore: $[(1, -1, 2), (-1, 4, 4), (-1, -2, 1)]$. Calcolo il suo determinante e scopro che vale $27 != 0$ quindi questa matrice è invertibile e questo significa che il rango della matrice completa è $3$, diverso da quello dell'incompleta che invece valeva $2$. Concludo che per $k=-2$ il sistema non ammette soluzioni.
FINE!
E ora... sotto con le domande!
Analizzo la matrice incompleta $[(1, k+1, -k), (k+1, 4, -2), (-1, -2, k)]$ e ne studio il rango. Per fare questo calcolo il determinante che viene $-k^3+3k-2$. Lo pongo uguale a zero e trovo che il determinante si annulla per $k=1 vv k=-2$.
1° CASO: $k != 1 ^^ k != -2$
La matrice non è singolare, quindi il rango è massimo, cioè è $3$. Ovviamente anche il rango della matrice completa sarà $3$, dato che l'incompleta è un minore $3xx3$ della completa. Quindi il sistema è risolvibile e ammette soluzione unica: la calcolo con il metodo di Cramer, tenendo presente che ho già il determinante dell'incompleta. Ne approfitto per fattorizzare il determinante e riscriverlo nel seguente modo: $-(k-1)^2(k+2)$.
Procedo a trovare la $x$ sostituendo la colonna dei termini noti al posto della prima colonna della matrice incompleta, ottenendo così la matrice $[(2, k+1, -k), (4, 4, -2), (-k-1, -2, k)]$. Calcolo il suo determinante e trovo $-6k^2+12k-6 = -6(k-1)^2$. Quindi, applicando Cramer, posso dire $x=(-6(k-1)^2)/(-(k-1)^2(k+2))=6/(k+2)$.
Procedo nello stesso identico modo per trovare la $y$ e la $z$ e alla fine viene il seguente vettore delle soluzioni: $((6/(k+2)), (-1), (-(k+5)/(k+2)))$. Fine del primo caso!
2° CASO: $k=1$
Questo $k=1$ sappiamo che annulla il determinante della matrice incompleta, che quindi non avrà rango $3$, ma avrà rango $1$ o $2$ (per i motivi che ti dicevo prima). Sostituisco il $k$ e trovo la seguente matrice completa: $[(1, 2, -1, 2), (2, 4, -2, 4), (-1, -2, 1, -2)]$. Penso che si veda ad occhio che la seconda riga è il doppio della prima mentre la terza è l'opposto della prima: applico due trasformazioni di riga che mi permettono di portare la matrice nella seguente forma: $[(1, 2, -1, 2), (0, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 0)]$. Quindi il rango è $1$ e la soluzione dipende da un numero di parametri pari a $3-1=2$. Infatti dalla prima riga si ricava immediatamente $x=2-2y+z$, cioè possiamo scegliere $y$ e $z$ a piacere e ricavare la $x$ di conseguenza. Ti faccio notare che avrei potuto isolare anche un'altra delle due incognite. In questo caso il vettore delle soluzioni diventa $((2-2y+z), (y), (z)) = ((2), (0), (0)) + y((-2), (1), (0)) + z((1), (0), (1))$ dove nell'ultima forma ho messo in evidenza i due parametri. Fine del secondo caso!
3° CASO: $k=-2$
Anche in questo caso sappiamo che $k=-2$ annulla il determinante dell'incompleta. Lo sostituisco e ottengo la seguente matrice completa: $[(1, -1, 2, 2), (-1, 4, -2, 4), (-1, -2, -2, 1)]$. Mi accorgo immediatamente che il rango dell'incompleta è $2$ dato che sicuramente non è $3$ (il determinante è $0$) ed esiste un minore $2xx2$ invertibile, ad esempio $[(1, -1), (-1, 4)]$. Devo ora capire se il rango della matrice completa è anch'esso $2$ oppure $3$. Per farlo parto dal minore che ho appena individuato e lo orlo con gli elementi della terza riga e quarta colonna della completa, ottenendo il seguente minore: $[(1, -1, 2), (-1, 4, 4), (-1, -2, 1)]$. Calcolo il suo determinante e scopro che vale $27 != 0$ quindi questa matrice è invertibile e questo significa che il rango della matrice completa è $3$, diverso da quello dell'incompleta che invece valeva $2$. Concludo che per $k=-2$ il sistema non ammette soluzioni.
FINE!
E ora... sotto con le domande!
Allora prima cosa, non ho ben capito cosa sia il rango.
Nel caso di k diverso da 1 e -2, il rango della matrice incompleta è tre perchè si tratta di matrice quadrata? 3 sarebbe il numero delle incognite?
Caso k = 1, il rango non sarà 3 perchè? Perchè con 1 il determinante si annulla? Una volta che hai conosciuto il rango, a cosa ti serve?
Poi, sostituisco k nel sistema e ottengo quella matrice completa che hai scritto. Partendo da qui, non riesco ancora a capire un metodo standard per risolvere il sistema con k sostituito Cioè, senza vedere a occhio ciò che hai notato tu, perchè magari l'occhio che hai tu non è il mio, e anche se la cosa è banale, durante un compito è sempre meglio andare sul sicuro anche se bisogna fare più calcoli..
Grazie e scusa la caterva di domande
Nel caso di k diverso da 1 e -2, il rango della matrice incompleta è tre perchè si tratta di matrice quadrata? 3 sarebbe il numero delle incognite?
Caso k = 1, il rango non sarà 3 perchè? Perchè con 1 il determinante si annulla? Una volta che hai conosciuto il rango, a cosa ti serve?
Poi, sostituisco k nel sistema e ottengo quella matrice completa che hai scritto. Partendo da qui, non riesco ancora a capire un metodo standard per risolvere il sistema con k sostituito
Cioè, senza vedere a occhio ciò che hai notato tu, perchè magari l'occhio che hai tu non è il mio, e anche se la cosa è banale, durante un compito è sempre meglio andare sul sicuro anche se bisogna fare più calcoli..Grazie e scusa la caterva di domande
"Baldur":
non ho ben capito cosa sia il rango.
E questa non è una bella cosa (
) visto che il rango (o caratteristica) è alla base di tantissimi procedimenti e osservazioni! Il rango è la dimensione del massimo minore (cioè sotto-matrice) quadrato invertibile (cioè con determinante diverso da zero) che si può estrarre dalla matrice."Baldur":
Nel caso di k diverso da 1 e -2, il rango della matrice incompleta è tre perchè si tratta di matrice quadrata? 3 sarebbe il numero delle incognite?
Sì e no... Nel senso che la matrice è quadrata, quindi c'è la possibilità che sia essa stessa invertibile. Calcolo il suo determinante e lo pongo diverso da zero. Risulta $k != 1 ^^ k != -2$. Per questi valori il determinante non è zero e quindi la matrice è invertibile. Ma la matrice è di fatto un minore $3xx3$ di se stessa (è quasi un gioco di parole), quindi il rango è $3$.
"Baldur":
Caso k = 1, il rango non sarà 3 perchè? Perchè con 1 il determinante si annulla?
Esatto, quindi la matrice non è invertibile, quindi il minore invertibile avrà una dimensione inferiore, cioè $1$ o $2$.
"Baldur":
Una volta che hai conosciuto il rango, a cosa ti serve?
A stabilire se il sistema ammette soluzioni e, nel caso, quante.
"Baldur":
Poi, sostituisco k nel sistema e ottengo quella matrice completa che hai scritto. Partendo da qui, non riesco ancora a capire un metodo standard per risolvere il sistema con k sostituito
Quando hai sostituito il parametro la matrice resta composta di soli numeri, quindi il metodo più conveniente (secondo me) è la riduzione di Gauss applicando trasformazioni di riga.
"Baldur":
Grazie e scusa la caterva di domande
Prego e... spero che tu abbia avuto una caterva di risposte!
E non si potrebbe risolvere con il metodo della sostituzione, invece di gauss?
In teoria si potrebbe, però considera che a livello universitario alcuni metodi sono considerati più "eleganti". Poi con Gauss vedi molto meglio la presenza di eventuali incognite da trattare come parametri e altre particolarità legate al rango della matrice.
Mannaggia sono troppo a corto di concetti su questo argomento 
( pensavo fosse una roba più meccanica trattare sistemi di questo tipo
( pensavo fosse una roba più meccanica trattare sistemi di questo tipo
Dai, posta un altro sistema che hai provato a fare e ti ha dato problemi che lo vediamo insieme. 
Altrimenti puoi provare a fare questo senza parametri:
${(x+y-z+t=1), (2x-y+2z-2t=0), (x-y-2z+2t=-2), (2x+y+3z-3t=-1):}$
oppure questo con il parametro:
${(x+(k+1)y+2z=1), (-x+(k+1)y+z=2), (x+y+(k-1)z=0):}$
Altrimenti puoi provare a fare questo senza parametri:
${(x+y-z+t=1), (2x-y+2z-2t=0), (x-y-2z+2t=-2), (2x+y+3z-3t=-1):}$
oppure questo con il parametro:
${(x+(k+1)y+2z=1), (-x+(k+1)y+z=2), (x+y+(k-1)z=0):}$
Nei compiti d'esame sono presenti solo sistemi con uno o due parametri.
E' che mancando i concetti teorici e le basi dei sistemi in generale (poichè purtroppo questa parte non l'ho rivista) mi rimane difficile capire, dopo il determinante, cosa fare :/
Si denota facilmente la dimestichezza che hai tu, ma non riesco ad andare così veloce :/
E' che mancando i concetti teorici e le basi dei sistemi in generale (poichè purtroppo questa parte non l'ho rivista) mi rimane difficile capire, dopo il determinante, cosa fare :/
Si denota facilmente la dimestichezza che hai tu, ma non riesco ad andare così veloce :/
"Baldur":
Nei compiti d'esame sono presenti solo sistemi con uno o due parametri.
Allora te ne propongo uno con due parametri: ${(x+hy+kz=k), (kx+z=0), (x+hy+z=2):} " "h,k in RR$.
Tu prova almeno a impostarlo, per esempio scrivere la matrice incompleta e trovare il determinante. Magari puoi anche provare a fare le osservazioni sul rango...
Poi posto la soluzione completa.
Cercherò di essere il più completo possibile.
Scrivo la matrice incompleta: $A=((1, h, k), (k, 0, 1), (1, h, 1))$ e calcolo il suo determinante con Sarrus:
$det A = 0+h+hk^2-0-h-hk = kh(k-1)$. Studio quando questo determinante si annulla: $kh(k-1)=0 rArr k=0 vv h=0 vv k=1$.
Quindi per $k != 0 ^^ h != 0 ^^ k != 1$ il determinante non si annulla $rArr$ la matrice è invertibile $rArr$ il rango è $3$ $rArr$ il sistema ammette soluzione unica. Trovo questa soluzione applicando Cramer: prendo il vettore dei termini noti $((k), (0), (2))$ e lo sostituisco a turno al posto delle colonne della matrice. Quindi posso dire che
$x=(det((k, h, k), (0, 0, 1), (2, h, 1)))/(det A) = (2h-kh)/(kh(k-1)) = (h(2-k))/(kh(k-1)) = (2-k)/(k(k-1))$.
$y=(det((1, k, k), (k, 0, 1), (1, 2, 1)))/(det A) = (k^2+k-2)/(kh(k-1)) = ((k-1)(k+2))/(kh(k-1)) = (k+2)/(kh)$.
$z=(det((1, h, k), (k, 0, 0), (1, h, 2)))/(det A) = (hk^2 - 2hk)/(kh(k-1)) = (hk(k-2))/(kh(k-1)) = (k-2)/(k-1)$.
Inizio l'analisi dei tre casi particolari:
1. $k=0 ^^ h != 0$. Scrivo la matrice completa: $((1, h, 0, 0) ,(0, 0, 1, 0), (1, h, 1, 2))$ e applico Gauss scrivendo al posto della terza riga la differenza tra la terza e la prima: $((1, h, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 1, 2))$ poi al posto della terza riga scrivo la terza riga meno la seconda: $((1, h, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 2))$.
A questo punto l'ultima riga ci sta dicendo che $0z = 2 rArr 0=2 rArr$ impossibile. Quindi per $k=0 ^^ h != 0$ il sistema è impossibile.
2. $h=0 ^^ k != 0$. Scrivo la matrice completa: $((1, 0, k, k), (k, 0, 1, 0), (1, 0, 1, 2))$ dalla quale si nota che ci saranno dei sotto-casi che dipenderanno dal parametro $k$. Ci torniamo dopo!
3. $k=0 ^^ h=0$. Scrivo la matrice completa: $((1, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (1, 0, 1, 2))$.
Applico Gauss: al posto della terza riga scrivo la differenza tra la terza e la prima: $((1, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 1, 2))$.
Al posto della terza scrivo la differenza tra la terza e la seconda: $((1, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 2))$.
Anche in questo caso l'ultima riga ci sta dicendo che $0=2$, quindi per $k=0 ^^ h=0$ il sistema non ammette soluzioni.
Intanto guarda bene questi, poi vediamo anche il caso 2 che è quello più difficile.
Scrivo la matrice incompleta: $A=((1, h, k), (k, 0, 1), (1, h, 1))$ e calcolo il suo determinante con Sarrus:
$det A = 0+h+hk^2-0-h-hk = kh(k-1)$. Studio quando questo determinante si annulla: $kh(k-1)=0 rArr k=0 vv h=0 vv k=1$.
Quindi per $k != 0 ^^ h != 0 ^^ k != 1$ il determinante non si annulla $rArr$ la matrice è invertibile $rArr$ il rango è $3$ $rArr$ il sistema ammette soluzione unica. Trovo questa soluzione applicando Cramer: prendo il vettore dei termini noti $((k), (0), (2))$ e lo sostituisco a turno al posto delle colonne della matrice. Quindi posso dire che
$x=(det((k, h, k), (0, 0, 1), (2, h, 1)))/(det A) = (2h-kh)/(kh(k-1)) = (h(2-k))/(kh(k-1)) = (2-k)/(k(k-1))$.
$y=(det((1, k, k), (k, 0, 1), (1, 2, 1)))/(det A) = (k^2+k-2)/(kh(k-1)) = ((k-1)(k+2))/(kh(k-1)) = (k+2)/(kh)$.
$z=(det((1, h, k), (k, 0, 0), (1, h, 2)))/(det A) = (hk^2 - 2hk)/(kh(k-1)) = (hk(k-2))/(kh(k-1)) = (k-2)/(k-1)$.
Inizio l'analisi dei tre casi particolari:
1. $k=0 ^^ h != 0$. Scrivo la matrice completa: $((1, h, 0, 0) ,(0, 0, 1, 0), (1, h, 1, 2))$ e applico Gauss scrivendo al posto della terza riga la differenza tra la terza e la prima: $((1, h, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 1, 2))$ poi al posto della terza riga scrivo la terza riga meno la seconda: $((1, h, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 2))$.
A questo punto l'ultima riga ci sta dicendo che $0z = 2 rArr 0=2 rArr$ impossibile. Quindi per $k=0 ^^ h != 0$ il sistema è impossibile.
2. $h=0 ^^ k != 0$. Scrivo la matrice completa: $((1, 0, k, k), (k, 0, 1, 0), (1, 0, 1, 2))$ dalla quale si nota che ci saranno dei sotto-casi che dipenderanno dal parametro $k$. Ci torniamo dopo!
3. $k=0 ^^ h=0$. Scrivo la matrice completa: $((1, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (1, 0, 1, 2))$.
Applico Gauss: al posto della terza riga scrivo la differenza tra la terza e la prima: $((1, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 1, 2))$.
Al posto della terza scrivo la differenza tra la terza e la seconda: $((1, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 2))$.
Anche in questo caso l'ultima riga ci sta dicendo che $0=2$, quindi per $k=0 ^^ h=0$ il sistema non ammette soluzioni.
Intanto guarda bene questi, poi vediamo anche il caso 2 che è quello più difficile.
Allora adesso è stato tutto più chiaro. In sostanza, quando ho un parametro, lo sostituisco al sistema, e alla matrice che ottengo, applico gauss. Giusto? E poi confronto il rango della mat incompleta con quello della completa...
Grazie a te e ad alcune dispense di mia sorella, sto riordinando tutte le idee e sto cominciando a capire. Fra poco ti riassumo tutto quello che ho capito, e speriamo bene!
Una domanda però: quando passi ad analizzare i casi particolari, scrivi la matrice completa. Che abbiamo detto ha rango 3.
Però poi, applicando gauss, viene fuori che il sistema è impossibile: ma il sistema è impossibile, in base a Capelli, se il rango della matrice A è diverso dal rango della matrice A|b! Però in questo caso, i ranghi non sono diversi, sono uguali! (pari a 3) e quindi come fa ad essere impossibile? ...ho un po' di confusione.
CIoè, quello che non ho capito in sostanza è (parlo sempre nel caso dei k che annullano il determinante di A): una volta calcolato il rango di A|b con Gauss, con quale rango di quale matrice, bisogna confrontarlo??
Però poi, applicando gauss, viene fuori che il sistema è impossibile: ma il sistema è impossibile, in base a Capelli, se il rango della matrice A è diverso dal rango della matrice A|b! Però in questo caso, i ranghi non sono diversi, sono uguali! (pari a 3) e quindi come fa ad essere impossibile? ...ho un po' di confusione.
CIoè, quello che non ho capito in sostanza è (parlo sempre nel caso dei k che annullano il determinante di A): una volta calcolato il rango di A|b con Gauss, con quale rango di quale matrice, bisogna confrontarlo??
Ok, capito tutto!! Ho provato un esercizio e mi riesce!! (per quanto riguarda i sistemi al variare di k però. Per quelli al variare di h e k purtroppo per questo appello non faccio in tempo..) Domani ne provo un altro!! Grazie infinite, a te, alla bellissima guida presente nella sezione ed alle dispense che mi ha dato oggi in extremis mia sorella!! Un tris perfetto
Una cosa: per un sistema più piccolo:
${((k+1)x +y +kz = k), (x + (1-k)y + 2kz = 1):}$
Si procede nello stesso modo? O ci sono delle differenze?
Grazie
Una cosa: per un sistema più piccolo:
${((k+1)x +y +kz = k), (x + (1-k)y + 2kz = 1):}$
Si procede nello stesso modo? O ci sono delle differenze?
Grazie
Ciao, si procede allo stesso identico modo.
Per la storia del sistema impossibile puoi notare come non abbia nemmeno guardato il rango (ad esempio nel caso particolare 1) visto che l'ultima equazione, dopo aver trasformato la matrice, diceva $0*z=2$, cioè $0=2$ che non ha soluzioni. Quindi visto che un'equazione del sistema è impossibile l'intero sistema è impossibile.
In bocca al lupo per l'esame!
Per la storia del sistema impossibile puoi notare come non abbia nemmeno guardato il rango (ad esempio nel caso particolare 1) visto che l'ultima equazione, dopo aver trasformato la matrice, diceva $0*z=2$, cioè $0=2$ che non ha soluzioni. Quindi visto che un'equazione del sistema è impossibile l'intero sistema è impossibile.
In bocca al lupo per l'esame!
Allo stesso modo, però la matrice incompleta non è quadrata! 
"Baldur":
Allo stesso modo, però la matrice incompleta non è quadrata!
Non sono sicuro di aver capito...
Cioè, in questo caso, ne la matrice completa e ne quella incompleta, sono quadrate. Quindi iniziare calcolando il determinante, non è la cosa più giusta da fare!
Ah ok ho capito. Con un po' di pazienza ti posto la soluzione con i commenti. Adesso stavo rispondendo a un certo Baldur in un altro topic!
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