Mi aiutate a capire i sistemi lineari?
Allora il 16 gennaio ho l'esame di matematica generale. Sto finendo, ma questo è un grande scoglio per me.
Diciamo che riesco a fare quasi tutto, ma uno degli esercizi che ancora non riesco a capire, sono i sistemi lineari, come quello che vedete in esempio.
Esercizio preso da un testo d'esame del 2007/2008
Studiare la risolubilità del sistema lineare
${ ( x + (k+1)y - kz = 2),( (k+1)x +4y -2z = 4),( -x -2y +kz = -k-1 ):}$
al variare del parametro $k in R$
So, che bisogna calcolare il determinante della matrice dei coefficienti, in questo caso. Ma poi, buio totale! (o quasi) Che si può fare? Conoscete dei metodi più o meno sintetici... non so..
Grazie a tutti coloro che proveranno ad aiutarmi...!
Diciamo che riesco a fare quasi tutto, ma uno degli esercizi che ancora non riesco a capire, sono i sistemi lineari, come quello che vedete in esempio.
Esercizio preso da un testo d'esame del 2007/2008
Studiare la risolubilità del sistema lineare
${ ( x + (k+1)y - kz = 2),( (k+1)x +4y -2z = 4),( -x -2y +kz = -k-1 ):}$
al variare del parametro $k in R$
So, che bisogna calcolare il determinante della matrice dei coefficienti, in questo caso. Ma poi, buio totale! (o quasi) Che si può fare? Conoscete dei metodi più o meno sintetici... non so..
Grazie a tutti coloro che proveranno ad aiutarmi...!
Risposte
Ma leggere la meravigliosa guida presente qui: guida-alla-risoluzione-dei-sistemi-lineari-t79095.html
Sai che l'ho scoperta proprio poco fa? In effetti mi sta aiutando non poco.
Proverò ad applicarla e vi faccio sapere... grazie
Però ho notato che la guida parla di risoluzione con parametri, ma di parametri non ne vedo nemmeno l'ombra! Ad esempio, il mio professore, una volta trovato il determinate, trova i fattori che annullano k, e in base a questi, trova le soluzioni del sistema. Qui non ne parla!
Proverò ad applicarla e vi faccio sapere... grazie
Però ho notato che la guida parla di risoluzione con parametri, ma di parametri non ne vedo nemmeno l'ombra! Ad esempio, il mio professore, una volta trovato il determinate, trova i fattori che annullano k, e in base a questi, trova le soluzioni del sistema. Qui non ne parla!
La tecnica, nel caso di sistemi quadrati è parametri è la seguente:
1) calcoli il determinante $\Delta$ della matrice dei coefficienti con Cramer e lo poni diverso da zero.
2) per i valori di $k$ per cui $\Delta\ne 0$ risolvi il sistema usando Cramer e ottieni soluzione unica;
3) per tutti i valori di $k$ per cui $\Delta=0$ sostituisci di volta in volta e vedi cosa accade al sistema, usando i metodi che conosci per risolverlo.
1) calcoli il determinante $\Delta$ della matrice dei coefficienti con Cramer e lo poni diverso da zero.
2) per i valori di $k$ per cui $\Delta\ne 0$ risolvi il sistema usando Cramer e ottieni soluzione unica;
3) per tutti i valori di $k$ per cui $\Delta=0$ sostituisci di volta in volta e vedi cosa accade al sistema, usando i metodi che conosci per risolverlo.
Ma quindi quella guida non è utilizzabile? Cosa posso prendere da quella guida?
I metodi di risoluzione dei sistemi in generale. Io ti ho scritto solo quali passi seguire per quelli parametrizzati.
Quindi quando parli del punto 3, in cui dici che se il determinante è uguale a 0 bisogna sostituire di volta in volta... sostituire cosa? I valori di k che trovi nelle equazioni del sistema? E' che sono a zero con i sistiemi lineari :/
Potresti spiegarmi meglio i punti due e tre? Magari per te è facile :/
Ma mi spieghi cosa c'è da capire?
1) scrivi il determinante (viene una equazione in $k$) risolvi l'equazione $\Delta=0$ (trovi come radici dei valori di $k$);
2) per tutti i valori diversi dalle soluzioni basta applicare Cramer per risolvere il sistema (sai come si usa e cosa dice tale metodo?);
3) per i valori di $k$ che sono soluzioni, sostituisci di volta in volta nel sistema e ne ottieni uno nuovo dove, stavolta non compare $k$. Risolvi tutti questi sistemi e vedi, a seconda dei casi, cosa accade.
Prova a fare questo che hai postato.
1) scrivi il determinante (viene una equazione in $k$) risolvi l'equazione $\Delta=0$ (trovi come radici dei valori di $k$);
2) per tutti i valori diversi dalle soluzioni basta applicare Cramer per risolvere il sistema (sai come si usa e cosa dice tale metodo?);
3) per i valori di $k$ che sono soluzioni, sostituisci di volta in volta nel sistema e ne ottieni uno nuovo dove, stavolta non compare $k$. Risolvi tutti questi sistemi e vedi, a seconda dei casi, cosa accade.
Prova a fare questo che hai postato.
"ciampax":
Ma mi spieghi cosa c'è da capire?
1) scrivi il determinante (viene una equazione in $k$) risolvi l'equazione $\Delta=0$ (trovi come radici dei valori di $k$);
2) per tutti i valori diversi dalle soluzioni basta applicare Cramer per risolvere il sistema (sai come si usa e cosa dice tale metodo?);
3) per i valori di $k$ che sono soluzioni, sostituisci di volta in volta nel sistema e ne ottieni uno nuovo dove, stavolta non compare $k$. Risolvi tutti questi sistemi e vedi, a seconda dei casi, cosa accade.
Prova a fare questo che hai postato.
Come si usa non è un problema, quello me lo vedo io. L'importante è capire quando si usa!
Per tutti i valori diversi dalle k soluzioni, applicare cramer dove?
Per i valori di k che sono soluzioni, sostituisco a tutto il sistema? E poi risolvo normalmente con il metodo della sostituzione?
Ciao, vedo che non vi siete capiti, anche se ciampax è stato molto chiaro! Pazienza: provo a partire dall'esercizio che avevi postato, così vediamo se con un esempio le cose migliorano.
Partiamo dalla matrice incompleta associata al sistema: $[(1, k+1, -k), (k+1, 4, -2), (-1, -2, k)]$ e iniziamo a studiare il suo rango. Ovviamente, essendo quadrata, la cosa più semplice da fare è calcolarne il determinante e vedere quando si annulla. Con qualche calcolo (ad esempio seguendo la regola di Sarrus) si arriva a dire che il determinante della matrice è $-k^3+3k-2$.
Studio quando il determinante si annulla, ponendo $-k^3+3k-2=0 rarr k^3-3k+2=0$ che è di terzo grado ma si abbassa facilmente con Ruffini notando che il polinomio si annulla per $k=1$. Alla fine si trova che le soluzioni sono $k=1$ (con molteplicità 2) e $k=-2$. Quindi possiamo dire che per tutti i valori di $k$ diversi da $1$ e $-2$ il determinante è diverso da zero, quindi la matrice è invertibile, quindi il suo rango è $3$. Dato che il rango dell'incompleta è massimo anche il rango della matrice completa sarà $3$. Quindi i ranghi sono uguali e massimi $rArr$ il sistema è risolubile e ammette soluzione unica, che si può trovare riducendo la matrice in forma triangolare con Gauss (non sempre conveniente quando c'è il parametro) o appunto applicando Cramer.
Restano da trattare i casi $k=1$ e $k=-2$ che si analizzano semplicemente andando a sostituire il valore e vedendo qual è il rango della nuova matrice incompleta, se è uguale a quello della completa, ecc...
Imposto solamente il calcolo nel caso di $k=1$: la matrice incompleta diventa $[(1, 2, -1), (2, 4, -2), (-1, -2, 1)]$ che ovviamente avrà determinante nullo. Dobbiamo capire qual è il suo rango, cioè se è $1$ oppure $2$. Prendiamo un minore formato da un solo elemento, ad esempio quello formato dall'elemento (1,1): è sicuramente invertibile. Proviamo a orlarlo in tutti i modi e scopriamo che il rango di questa matrice è...
Prova a continuare tu ok?
Partiamo dalla matrice incompleta associata al sistema: $[(1, k+1, -k), (k+1, 4, -2), (-1, -2, k)]$ e iniziamo a studiare il suo rango. Ovviamente, essendo quadrata, la cosa più semplice da fare è calcolarne il determinante e vedere quando si annulla. Con qualche calcolo (ad esempio seguendo la regola di Sarrus) si arriva a dire che il determinante della matrice è $-k^3+3k-2$.
Studio quando il determinante si annulla, ponendo $-k^3+3k-2=0 rarr k^3-3k+2=0$ che è di terzo grado ma si abbassa facilmente con Ruffini notando che il polinomio si annulla per $k=1$. Alla fine si trova che le soluzioni sono $k=1$ (con molteplicità 2) e $k=-2$. Quindi possiamo dire che per tutti i valori di $k$ diversi da $1$ e $-2$ il determinante è diverso da zero, quindi la matrice è invertibile, quindi il suo rango è $3$. Dato che il rango dell'incompleta è massimo anche il rango della matrice completa sarà $3$. Quindi i ranghi sono uguali e massimi $rArr$ il sistema è risolubile e ammette soluzione unica, che si può trovare riducendo la matrice in forma triangolare con Gauss (non sempre conveniente quando c'è il parametro) o appunto applicando Cramer.
Restano da trattare i casi $k=1$ e $k=-2$ che si analizzano semplicemente andando a sostituire il valore e vedendo qual è il rango della nuova matrice incompleta, se è uguale a quello della completa, ecc...
Imposto solamente il calcolo nel caso di $k=1$: la matrice incompleta diventa $[(1, 2, -1), (2, 4, -2), (-1, -2, 1)]$ che ovviamente avrà determinante nullo. Dobbiamo capire qual è il suo rango, cioè se è $1$ oppure $2$. Prendiamo un minore formato da un solo elemento, ad esempio quello formato dall'elemento (1,1): è sicuramente invertibile. Proviamo a orlarlo in tutti i modi e scopriamo che il rango di questa matrice è...
quindi passiamo ad analizzare la completa...
Prova a continuare tu ok?
"Baldur":
[quote="ciampax"]Ma mi spieghi cosa c'è da capire?
1) scrivi il determinante (viene una equazione in $k$) risolvi l'equazione $\Delta=0$ (trovi come radici dei valori di $k$);
2) per tutti i valori diversi dalle soluzioni basta applicare Cramer per risolvere il sistema (sai come si usa e cosa dice tale metodo?);
3) per i valori di $k$ che sono soluzioni, sostituisci di volta in volta nel sistema e ne ottieni uno nuovo dove, stavolta non compare $k$. Risolvi tutti questi sistemi e vedi, a seconda dei casi, cosa accade.
Prova a fare questo che hai postato.
Come si usa non è un problema, quello me lo vedo io. L'importante è capire quando si usa!
Per tutti i valori diversi dalle k soluzioni, applicare cramer dove? [/quote]
Al sistema orginale!
Per i valori di k che sono soluzioni, sostituisco a tutto il sistema? E poi risolvo normalmente con il metodo della sostituzione?
Certo, ogni singolo valore di $k$ nel sistema e trovi diversi sistemi e li risolvi.
Allora ok, andiamo per gradi. Cercherò di imparare a risolvere sistemi lineari la cui matrice incompleta è quadrata. Questo per ovvi motivi di tempo, visto che l'esame c'è il 16.
La matrice è quadrata, la conseguenza è che bisogna calcolarne il determinante (giusto?).
La soluzione dell'esercizio (voglio cercare le analogie con quanto detto da te), dice che il determinante si annulla per k = 1 e k = -2. Nei restanti casi, per il teorema di Rouchè-Capelli, il sistema ha una sola soluzione. Rimangono da esaminare i due casi.
Questo cosa vuol dire? Dove e come è stato applicato il teorema di rouche-capelli? Che cosa vuol dire nei restanti casi? Per k $!=$ da 1 e -2?
Andando avanti, esaminiamo i due casi:
caso k = 1, sostituisco al sistema e viene fuori quella matrice che hai scritto, ma, quando tu dici "dobbiamo capire il rango, se è 1 o 2", perchè restringi il caso a 1 e a 2? Dove l'hai prese queste informazioni?
Grazie mille per la disponibilità
La matrice è quadrata, la conseguenza è che bisogna calcolarne il determinante (giusto?).
La soluzione dell'esercizio (voglio cercare le analogie con quanto detto da te), dice che il determinante si annulla per k = 1 e k = -2. Nei restanti casi, per il teorema di Rouchè-Capelli, il sistema ha una sola soluzione. Rimangono da esaminare i due casi.
Questo cosa vuol dire? Dove e come è stato applicato il teorema di rouche-capelli? Che cosa vuol dire nei restanti casi? Per k $!=$ da 1 e -2?
Andando avanti, esaminiamo i due casi:
caso k = 1, sostituisco al sistema e viene fuori quella matrice che hai scritto, ma, quando tu dici "dobbiamo capire il rango, se è 1 o 2", perchè restringi il caso a 1 e a 2? Dove l'hai prese queste informazioni?
Grazie mille per la disponibilità
Allora... se la matrice è quadrata parto dal determinante perchè è la cosa più furba. Puoi anche partire da un minore e orlarlo ma è molto facile sbagliare. Se questo determinante non si annulla, significa che la matrice è invertibile e quindi il rango è massimo e pari alla dimensione della matrice stessa (nel nostro caso $3$). Trovo che il determinante si annulla per $k=1 vv k=-2$ quindi non si annulla per $k != 1 ^^ k != -2$ giusto? 
Se il determinante non si annulla (e quindi abbiamo detto che il rango è massimo) il th di Rouchè-Capelli garantisce che la soluzione esiste ed è unica, quindi procedo e la trovo risolvendo il sistema, ad esempio con Cramer. Ovviamente questa soluzione dipenderà da $k$ poichè scegli un $k$ a piacere (che non sia $1 vv -2$ e otterrai una diversa soluzione).
Fino ad ora ho esaminato tutto tranne $k=1$ e $k=-2$: procedo!
Studio $k=1$: come vedi sto dando un valore ben preciso a $k$, quindi lo vado a sostituire. Ho detto che il rango poteva essere $1$ o $2$ per il seguente motivo: non poteva essere $0$ poichè esiste almeno un elemento non nullo, cioè un minore $1xx1$ invertibile e non poteva essere $3$ perchè siamo arrivati qui con $k=1$ che era un valore per il quale il determinante della matrice era $0$. Non restavano che $1$ e $2$. Trovo il rango, quindi capisco il numero di parametri ed infine scrivo la soluzione. Poi rifaccio lo stesso ragionamento per $k=-2$.
Comunque se hai problemi con qualche sistema postalo che lo facciamo insieme!
Se il determinante non si annulla (e quindi abbiamo detto che il rango è massimo) il th di Rouchè-Capelli garantisce che la soluzione esiste ed è unica, quindi procedo e la trovo risolvendo il sistema, ad esempio con Cramer. Ovviamente questa soluzione dipenderà da $k$ poichè scegli un $k$ a piacere (che non sia $1 vv -2$ e otterrai una diversa soluzione).
Fino ad ora ho esaminato tutto tranne $k=1$ e $k=-2$: procedo!
Studio $k=1$: come vedi sto dando un valore ben preciso a $k$, quindi lo vado a sostituire. Ho detto che il rango poteva essere $1$ o $2$ per il seguente motivo: non poteva essere $0$ poichè esiste almeno un elemento non nullo, cioè un minore $1xx1$ invertibile e non poteva essere $3$ perchè siamo arrivati qui con $k=1$ che era un valore per il quale il determinante della matrice era $0$. Non restavano che $1$ e $2$. Trovo il rango, quindi capisco il numero di parametri ed infine scrivo la soluzione. Poi rifaccio lo stesso ragionamento per $k=-2$.
Comunque se hai problemi con qualche sistema postalo che lo facciamo insieme!
Diciamo che a me più che altro ora, serve di capire se esiste una tecnica standard per i sistemi di questo tipo. Per cui mi servirebbe capire una regola generica per risolvere sistemi di matrice incompleta quadrata.
Quindi, vediamo se comincio a capire qualcosa: mi calcolo il determinante. Se viene diverso da 0, vuol dire che la matrice è invertibile e che il rango è pari al numero delle incognite. (e se il determinante si annullasse?)
In tal caso per il teorema di rouche-capelli, il sistema è determinato e la soluzione è unica. Giusto?
Poi pongo il det = a 0 per trovare i valori di k per cui si annulla.
Caso k = 1 (esempio), vado a sostituire 1 nel sistema e otterrò questo sistema: ${ ( x + 2y - z = 2),( 2x + 4y -2z = 4 ),( -x -2y +z = -2 ):}$ , senza k questa volta. Ora che devo fare? Devo risolvere questo sistema con cramer?
Scusa se sono ripetitivo e lento nei passaggi, ma ho bisogno di trovare un metodo il più standard possibile. Grazie :=)
Quindi, vediamo se comincio a capire qualcosa: mi calcolo il determinante. Se viene diverso da 0, vuol dire che la matrice è invertibile e che il rango è pari al numero delle incognite. (e se il determinante si annullasse?)
In tal caso per il teorema di rouche-capelli, il sistema è determinato e la soluzione è unica. Giusto?
Poi pongo il det = a 0 per trovare i valori di k per cui si annulla.
Caso k = 1 (esempio), vado a sostituire 1 nel sistema e otterrò questo sistema: ${ ( x + 2y - z = 2),( 2x + 4y -2z = 4 ),( -x -2y +z = -2 ):}$ , senza k questa volta. Ora che devo fare? Devo risolvere questo sistema con cramer?
Scusa se sono ripetitivo e lento nei passaggi, ma ho bisogno di trovare un metodo il più standard possibile. Grazie :=)
"Baldur":
mi calcolo il determinante. Se viene diverso da 0, vuol dire che la matrice è invertibile e che il rango è pari al numero delle incognite. (e se il determinante si annullasse?)
In generale il determinante dipende da $k$, quindi non è che si annulla o non si annulla di per se, ma si annulla o non si annulla a seconda del valore che dai a $k$, ed è proprio questo che abbiamo studiato!
"Baldur":
Caso k = 1 (esempio), vado a sostituire 1 nel sistema e otterrò questo sistema: ${ ( x + 2y - z = 2),( 2x + 4y -2z = 4 ),( -x -2y +z = -2 ):}$ , senza k questa volta. Ora che devo fare? Devo risolvere questo sistema con cramer?
No Cramer non si può applicare poichè il determinante della matrice è $0$!! Dovrai procedere riducendo a scala la matrice e considerando che comunque la soluzione dipenderà da un numero di parametri pari al rango massimo possibile (cioè $3$) meno il rango della matrice incompleta (o completa, tanto è la stessa cosa) che hai trovato con la sostituzione, cioè $1$. Quindi questa soluzione dipenderà da $3-1=2$ parametri.
Mmm mi si sta complicando assai la questione 
ma non esiste uno schemino riassuntivo generale? E' un procedimento che si può in qualche modo standardizzare? Parlo sempre di matrici che incomplete siano quadrate.. Grazie...
ma non esiste uno schemino riassuntivo generale? E' un procedimento che si può in qualche modo standardizzare? Parlo sempre di matrici che incomplete siano quadrate.. Grazie...
In realtà quello che stiamo facendo è il procedimento standard! 
Si studia il determinante, si vede quando si annulla, ecc... Si fa proprio così!
PS: Perchè si complica se dico che non puoi usare Cramer? Sai che con Cramer devi mettere al denominatore il determinante della matrice, ma in questo caso questo determinante vale $0$, quindi niente Cramer!
Si studia il determinante, si vede quando si annulla, ecc... Si fa proprio così!
PS: Perchè si complica se dico che non puoi usare Cramer? Sai che con Cramer devi mettere al denominatore il determinante della matrice, ma in questo caso questo determinante vale $0$, quindi niente Cramer!
"minomic":
In realtà quello che stiamo facendo è il procedimento standard!
Si studia il determinante, si vede quando si annulla, ecc... Si fa proprio così!
PS: Perchè si complica se dico che non puoi usare Cramer? Sai che con Cramer devi mettere al denominatore il determinante della matrice, ma in questo caso questo determinante vale $0$, quindi niente Cramer!
Si, in effetti, si.
Significherebbe molto per me, solo riuscire a capire i sistemi quadrati.
Allora, ricapitolando:
calcolo il determinante, se viene non nullo, vuol dire che il rango della matrice è pari al numero delle incognite e per il th di rouche-capelli il sistema è determinato ed ha unica soluzione.
pongo il det = 0 per vedere dove si annulla. E fin qui, non ci piove
Comincio a studiare i singoli casi. Caso k = 1, sostituisco ed ottengo il sistema ${ ( x + 2y - z = 2),( 2x + 4y -2z = 4 ),( -x -2y +z = -2 ):}$
ora, ripartiamo da qui: le possibilità sono, cramer o eliminazione di gauss. Ma eliminazione di gauss hai detto che non è molto conveniente quando c'è un parametro, e cramer non si può usare perchè il determinante della matrice che viene fuori è nullo. Ma, allora?
Grazie ancora
"Baldur":
Ma eliminazione di gauss hai detto che non è molto conveniente quando c'è un parametro
Infatti qui non c'è più alcun parametro... l'hai sostituito!
Quindi usiamo Gauss che tra l'altro qui è immediato poichè si vede che la seconda riga è il doppio della prima e la terza è l'opposto della prima.Ti dicevo che Gauss a volte non conviene se c'è il parametro nella matrice che stiamo considerando. Mi stavo quindi riferendo al caso più generale in cui $k != 1 ^^ k != -2$ dove il parametro rimane eccome!
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