Metriche su superfici - dubbi
buongiorno a tutti
ho un problema con la comprensione dell'introduzione di una metrica su di una superficie, in particolare della formula
[tex]ds^2=Edu^2 + 2Fdudv + G dv^2[/tex]
Dov'è la metrica? Come faccio a calcolare la distanza tra due punti su di una superficie utilizzando questa metrica? Da che cosa derivano le formule che definiscono E , F , G ? Perchè si utilizza la notazione con i differenziali?
Potreste consigliarmi un buon testo di geometria differenziale?
Grazie mille
ho un problema con la comprensione dell'introduzione di una metrica su di una superficie, in particolare della formula
[tex]ds^2=Edu^2 + 2Fdudv + G dv^2[/tex]
Dov'è la metrica? Come faccio a calcolare la distanza tra due punti su di una superficie utilizzando questa metrica? Da che cosa derivano le formule che definiscono E , F , G ? Perchè si utilizza la notazione con i differenziali?
Potreste consigliarmi un buon testo di geometria differenziale?
Grazie mille
Risposte
Per quanto riguarda il testo, un classico è il do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice-Hall (qui c'è anche una E/C scritta da un'anima pia di Berkley); ma credo che anche il Kreyszig, Differential Geometry, sia un buon libro.
esiste in italiano?
No. Perchè?
perchè non conosco bene l'inglese.
Nessuno che possa aiutarmi?
per ottenere quel risultato, ho provato a ragionare in questo modo:
sia [tex]U[/tex] un aperto del piano, dotato di un riferimento ortogonale [tex](u,v)[/tex]. La distanza tra due punti [tex]P_1=(u_1,v_1),P_2=(u_2,v_2)[/tex] nel piano è data dalla solita formula con il teorema di pitagora: può essere vista inoltre come la lunghezza della curva [tex]r (t) = P_1 + t(P_2 - P_1)[/tex] da [tex]t=0[/tex] a [tex]t=1[/tex].
Sia ora [tex]x:U \rightarrow M[/tex] una parametrizzazione locale regolare della superficie M: vogliamo vedere in che modo la metrica su [tex]U[/tex] possa indurre una metrica su [tex]M[/tex]: la distanza tra [tex]x(P_1)[/tex]e [tex]x(P_2)[/tex] può essere vista come la lunghezza dell'immagine tramite [tex]x[/tex] della curva [tex]r[/tex], ovvero della curva sulla superficie: [tex]\alpha:= x \circ r[/tex] calcolata tra [tex]t=0[/tex] e [tex]t=1[/tex]
calcoliamo: [tex]\alpha ' (t)=x_u (u_2-u_1) + x_v (v_2-v_1)[/tex] da cui [tex]s(x(P_1),x(P_2))=\int_0^1 \sqrt{((u_2-u_1)^2 E + 2(u_2-u_1)(v_2-v_1)F + (v_2-v_1)^2 G} dt[/tex] ovvero [tex]s^2 = (u_2-u_1)^2 E + 2(u_2-u_1)(v_2-v_1)F + (v_2-v_1)^2 G[/tex]
se consideriamo [tex]u_2-u_1[/tex] e [tex]v_2-v_1[/tex] come variazioni infinitesime lungo le direzioni [tex]u,v[/tex] otteniamo la formula che ho scritto nel primo post. Sono nel giusto? Il problema è: ma questa è effettivamente una metrica? Gode della disuguaglianza triangolare?
Nessuno che possa aiutarmi?
per ottenere quel risultato, ho provato a ragionare in questo modo:
sia [tex]U[/tex] un aperto del piano, dotato di un riferimento ortogonale [tex](u,v)[/tex]. La distanza tra due punti [tex]P_1=(u_1,v_1),P_2=(u_2,v_2)[/tex] nel piano è data dalla solita formula con il teorema di pitagora: può essere vista inoltre come la lunghezza della curva [tex]r (t) = P_1 + t(P_2 - P_1)[/tex] da [tex]t=0[/tex] a [tex]t=1[/tex].
Sia ora [tex]x:U \rightarrow M[/tex] una parametrizzazione locale regolare della superficie M: vogliamo vedere in che modo la metrica su [tex]U[/tex] possa indurre una metrica su [tex]M[/tex]: la distanza tra [tex]x(P_1)[/tex]e [tex]x(P_2)[/tex] può essere vista come la lunghezza dell'immagine tramite [tex]x[/tex] della curva [tex]r[/tex], ovvero della curva sulla superficie: [tex]\alpha:= x \circ r[/tex] calcolata tra [tex]t=0[/tex] e [tex]t=1[/tex]
calcoliamo: [tex]\alpha ' (t)=x_u (u_2-u_1) + x_v (v_2-v_1)[/tex] da cui [tex]s(x(P_1),x(P_2))=\int_0^1 \sqrt{((u_2-u_1)^2 E + 2(u_2-u_1)(v_2-v_1)F + (v_2-v_1)^2 G} dt[/tex] ovvero [tex]s^2 = (u_2-u_1)^2 E + 2(u_2-u_1)(v_2-v_1)F + (v_2-v_1)^2 G[/tex]
se consideriamo [tex]u_2-u_1[/tex] e [tex]v_2-v_1[/tex] come variazioni infinitesime lungo le direzioni [tex]u,v[/tex] otteniamo la formula che ho scritto nel primo post. Sono nel giusto? Il problema è: ma questa è effettivamente una metrica? Gode della disuguaglianza triangolare?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo