Metriche limitate

[dissonance]

Se Y è uno spazio metrico con distanza d, anche $d'(x,y)=(d(x,y))/(1+d(x,y))$ e $d''(x,y)=min{d(x,y),1}$ sono distanze su Y.
Prima domanda: sono equivalenti? Se no, c'è comunque qualche relazione ?

Un risultato "famoso" è questo: ($B(X,Y)={f:X->Y\ text(limitata)}$, con X un insieme qualsiasi) se (Y,d) è completo allora, detta $delta(f,g)=text(sup){d(f(x),g(x)) | x in X}$, (B(X,Y),$delta$) è ancora completo. Se invece di definire $delta$ con la distanza d, usiamo la d', o la d'', non c'è più bisogno di considerare solo funzioni limitate (rispetto a d). Otteniamo allora spazi metrici ($Y^X={f:X->Y}$) ($Y^X$,$delta'$), ($Y^X$,$delta''$).
Seconda domanda: che relazione c'è tra $(B(X,Y), delta), (Y^X,delta'), (Y^X, delta'')$?

e grazie in anticipo!

[ViciousGoblin]

Alla prima domanda risponderei "a occhio" dicendo che le due metriche sono topologicamente
equivalenti (generano gli stessi intorni). Sfortunatamente la completezza è una proprietà metrica e
non topologica, e in effetti non è detto che la completezza si conservi passando da una metrica all'altra.
Direi che se lo spazio è $RR$ e la metrica è quella usuale $d(x,y)=|x-y|$, passando a $d'=\frac{d}{1+d}$
la completezza si perde (in effetti le successioni divergenti diventano di Cauchy e il completamento è $\bar RR$).

La seconda mi pare più innocua.

Sull'altra questione faccio solo notare che i teoremi che citi, CREDO, parlano di spazi normati, e le tue distanze
non provengono da una norma (la prima poi non rende completo lo spazio di arrivo).

Sono solo degli spunti di riflessione

[dissonance]

Allora consideriamo solo $bar d(x,y)=min{d(x,y),1}$ (qualche autore la chiama "metrica limitata standard"). Se una successione è di Cauchy rispetto a $d$, mi pare che continui ad esserlo con $bar d$, giusto?
Da un punto di vista topologico, con $bar d$ non facciamo altro che restringere la famiglia dei dischi alla sottofamiglia dei dischi di raggio <=1, con in più un "discone" che è tutto lo spazio (di raggio >1). Quindi, come dicevi prima la topologia è la stessa.

Perciò, se lo spazio è completo con $d$ lo sarà anche con $bar d$ (fin qui mi pare che fili liscio).
Il teorema di prima, con cui la completezza si passa agli spazi di X->Y se Y è completo, mi pare funzioni anche se non parliamo di spazi normati:

Sia $(Y,d)$. Prendiamo $(f_n)_(n in NN)$, di Cauchy rispetto alla distanza del sup. Fissiamo $epsilon>0$, allora definitivamente $text(sup){d(f_n(x), f_(n+p)(x))}Y$ t.c. $AAx$: $f_n(x)->_nf(x)$. Inoltre $d(f_n(x),f(x))=lim_{m}d(f_n(x),f_m(x))$. Per ogni n suff. grande, definitivamente $d(f_n(x),f_m(x))
Quindi, conclusione, possiamo dire che se una successione di funzioni limitate converge uniformemente con $d$, converge pure con $bar d$? Viceversa, se una succ. di funzioni qualsiasi converge unif. con $bar d$, allora converge uniformemente anche con $d$?
In pratica, perdiamo qualcosa se invece di B(X,Y) (che ha il vincolo di considerare solo funzioni limitate), consideriamo tutto lo spazio di funzioni, dandogli però questa metrica limitata? (A me pare di no, che ne dite?).

[ViciousGoblin]

"dissonance":Allora consideriamo solo $bar d(x,y)=min{d(x,y),1}$ (qualche autore la chiama "metrica limitata standard"). Se una successione è di Cauchy rispetto a $d$, mi pare che continui ad esserlo con $bar d$, giusto?
Da un punto di vista topologico, con $bar d$ non facciamo altro che restringere la famiglia dei dischi alla sottofamiglia dei dischi di raggio <=1, con in più un "discone" che è tutto lo spazio (di raggio >1). Quindi, come dicevi prima la topologia è la stessa.

Non solo la topologia (scusa la puntualizzazione sui termini) - anche la completezza, per l'appunto passa da una metrica all'altra.

"dissonance":
Perciò, se lo spazio è completo con $d$ lo sarà anche con $bar d$ (fin qui mi pare che fili liscio).
Il teorema di prima, con cui la completezza si passa agli spazi di X->Y se Y è completo, mi pare funzioni anche se non parliamo di spazi normati:

Sia $(Y,d)$. Prendiamo $(f_n)_(n in NN)$, di Cauchy rispetto alla distanza del sup. Fissiamo $epsilon>0$, allora definitivamente $text(sup){d(f_n(x), f_(n+p)(x))}Y$ t.c. $AAx$: $f_n(x)->_nf(x)$. Inoltre $d(f_n(x),f(x))=lim_{m}d(f_n(x),f_m(x))$. Per ogni n suff. grande, definitivamente $d(f_n(x),f_m(x))

In effetti mi pare che vada (volevi scrivere $(Y,\bar d)$ immagino). In effetti questo mi sembra il vecchio teorema, visto che tutte le funzioni sono limitate, se metti questa metrica in arrivo.

"dissonance":

Quindi, conclusione, possiamo dire che se una successione di funzioni limitate converge uniformemente con $d$, converge pure con $bar d$? Viceversa, se una succ. di funzioni qualsiasi converge unif. con $bar d$, allora converge uniformemente anche con $d$?

Qui ho perso il filo - comunque è sicuramente vero che $f_n\to f$ uniformemente rispetto a $\bar d$ se e solo se $f_n\to f$ uniformemente rispetto a $d$. Quindi mi pare vero che se
$(Y,d)$ è completo, allora le funzioni continue da $X$ in $(Y,\bar d)$ danno luogo a uno spazio metrico completo.

"dissonance":

In pratica, perdiamo qualcosa se invece di B(X,Y) (che ha il vincolo di considerare solo funzioni limitate), consideriamo tutto lo spazio di funzioni, dandogli però questa metrica limitata? (A me pare di no, che ne dite?).

Beh perdiamo la struttura di spazio normato (e quindi di Banach), il che probabilmente non è gradevole ...

UNA CORREZIONE al mio post precedente. Anche se le affermazioni generali sono vere mi pare però di avere equivocato la prima distanza, che mi era sembrata erroneamente quella
risultante dalla "compressione" di $RR$ su un intervallo. Niente di cò - anche con la prima distanza $RR$ è completo e in effetti si ha una situazione molto simile a quella con $\bar d$.

[dissonance]

Beh perdiamo la struttura di spazio normato (e quindi di Banach), il che probabilmente non è gradevole ...

... ecco che cosa non mi tornava! A parte tutta la confusione che ho fatto, quello che volevo dire -in sintesi- è: perché restringersi a considerare spazi di funzioni limitate se con un piccolo accorgimento (passare a metriche limitate) si può aggirare il problema? mi stava sfuggendo questo "piccolo" dettaglio! grazie!