Metodo di Rouge-Kutta per sistemi di equazioni

[mrbyte]

Salve a tutti, stò effettuando uno studio su un sistema di equazioni differenziali della seguente forma:

$ x' = 3x - x^3 - y + S

$ y' = a(c(1 + tanh(bx) - y)

Con S,a,c e b costanti. Questo sistema individua sul piano xy una cubica (1 equazione) ed una funzione sigmoidale (2 equazione) se si impone x'=0 e y'=0. In particolare quando il valore di S>0 le due curve individuano un ciclo limite indicato nel seguente schema dalle frecce. Le doppie frecce indicano un salto quasi istantaneo dai valori negativi di x a quelli positivi (vedi figura 1(A)):

FIGURA 1(A)(B)

Se invece S<0 si ottiene un punto fisso stabile nella parte delle x negative che non fa "oscillare" il grafico, quindi non si ha ciclo limite (vedi figura 1(B)).
Adesso studiando questo sistema, ho realizzato un programma in matlab che mi permette di risolvere il sistema con il metodo di Rouge-Kutta del quarto ordine. Ottengo quindi due vettori di valori che indicano il valore della x e della y al variare del tempo t. Il grafico dei due valori risulta essere il seguente (grafico dei valori di x rispetto al tempo t), dove t è indicata sull'asse orizzontale da [0,10]:



La mia domanda è... secondo voi questi valori sono dei valori accettabili? nel senso che, è un andamento della x rispetto al tempo che posso aspettarmi tranquillamente? Se invece faccio il grafico della x e della y sugli assi allora mi ritrovo il seguente grafico:



Chi mi sa dare un'interpretazione dei risultati?? grazie!

[itpareid]

mi sembra che la cosa più interessante di questo sistema sia proprio la biforcazione che si ottiene passando da valori positivi a valori negativi di S, ma dipende sempre da cosa ti è stato chiesto di studiare.
ciao

[mrbyte]

Allora quello che devo verificare attraverso i 2 grafici dei risultati ottenuti (quello in rosso e quello in blu) se effettivamente il comportamento del sistema è effettivamente quello descritto in precedenza.

Ad esempio per valori di S>0 si ha il ciclo limite quindi i valori della x dovrebbero alternarsi tra [-2,-1] e [1,2] come riportato nella prima figura in alto, ma il grafico rosso riporta una funzione che si avvicina al valore 0.5 (circa) al passare del tempo.
Secondo lei questo comportamento è quello che generalmente si può aspettare da un andamento di questo tipo?

Anche perchè il grafico riportato sugli appunti che ho indica un andamento della x rispetto al tempo del seguente tipo:

[itpareid]

prima di tutto diamoci del tu
l'andamento dell'ultimo grafico che hai postato mi sembra coerente con il fatto di avere un ciclo limite (comportamento oscillatorio periodico nel tempo), mentre i grafici che hai fatto con matlab dimostrano un sistema con smorzamento del secondo ordine che assume un valore a regime preciso (grafico in rosso), compatibile con la forma tipica dell'attrattore (grafico in blu), quindi il tutto più simile ad un punto di equilibrio stabile.
spero di non aver detto troppe asinate...
PS: ma stai studiando qualcosa di bioingegneria? i grafici ricordano tanto il Keener-Sneyd...

[mrbyte]

Ho risolto, esisteva un errore nel programma matlab per il calcolo del metodo di Runge-Kutta del 4 ordine. Ed ho variato leggermente i valori delle costanti. Adesso i grafici sono identici a l'ultimo postato nel caso di I>0.

Cmq stò studiando reti neurali, nello specifico una rete neurale di oscillatori dinamicamente accoppiata, che serve per la segmentazione delle immagini a scala di grigio. Per inciso... il sistema è un caso particolare delle equazioni di Van Der Pol.

Grazie di tutto e complimenti per il sito!