Matrix idempotente
ciao a tutti! non saprei come procedere per lo svolgimento di questo problema:
Una matrice A è detta idempotente se A^2=A. Provare che:
a) se A è idempotente, allora B=I-A è idempotente
b)se A è idempotente e B=I-A allora AB=BA=O(matrice nulla)
Grazie!
Una matrice A è detta idempotente se A^2=A. Provare che:
a) se A è idempotente, allora B=I-A è idempotente
b)se A è idempotente e B=I-A allora AB=BA=O(matrice nulla)
Grazie!
Risposte
Provare ad applicare la definizione, no?
[tex](I - A)(I - A) = I - 2A + A^2 = I -2 A + A = I - A[/tex]
[tex]AB = A(I - A) = A - A^2 = 0[/tex]
Rendiamo la cosa più interessante. Sapresti dirmi quali sono i possibili autovalori di una matrice idempotente? (intendo, sapresti dimostrare che c'è solo un numero finito di possibilità?). E poi, dimostrare che una matrice idempotente è sempre diagonalizzabile. Puoi prendere i coefficienti in un qualsiasi campo [tex]k[/tex], non serve né che sia algebricamente chiuso, né che sia infinito. Tuttavia, se sei agli inizi e lavorare con campi qualsiasi ti spaventa ancora, prendi pure [tex]k = \mathbb R[/tex].
[tex](I - A)(I - A) = I - 2A + A^2 = I -2 A + A = I - A[/tex]
[tex]AB = A(I - A) = A - A^2 = 0[/tex]
Rendiamo la cosa più interessante. Sapresti dirmi quali sono i possibili autovalori di una matrice idempotente? (intendo, sapresti dimostrare che c'è solo un numero finito di possibilità?). E poi, dimostrare che una matrice idempotente è sempre diagonalizzabile. Puoi prendere i coefficienti in un qualsiasi campo [tex]k[/tex], non serve né che sia algebricamente chiuso, né che sia infinito. Tuttavia, se sei agli inizi e lavorare con campi qualsiasi ti spaventa ancora, prendi pure [tex]k = \mathbb R[/tex].
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