Matrici simmetriche e forme bilineari
Salve a tutti,
mi piacerebbe eliminare alcuni bubbi prima dell' esame ,sperando in un vostro aiuto.
1)
un esercizio chiedeva ...Data una matrice simmetrica A: \begin{Bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 &1 \\ 0 & 1 &1 \end{Bmatrix}
calolare autovalori e basi degli autovettori.Risolvendo Mi sono trovato come autovalori 0 (m.a 1) e 2(m.a2) e i rispettivi autovettori (0,-1,1) (0,1,1) (1,0,0). Fin qui diciamo che sono certo di quel che ho fatto. A questo punto l' esercizio si dirama in due sottoquesiti. Il primo chiede di trovre una matrice M ortogonale e una matrice D diagonale tale che sussista la relazione $ M^(-1) AM=D $ .Io ho pensato di usufruire del teorema spettrale (la definizione insomma) e quindi ho deinito come M la matrice formata dagli autovettori \begin{Bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{Bmatrix}
e come matrice D quella formata dagli autovalori \begin{Bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{Bmatrix}
e facendo le dovute verifiche e applicando per semplicità la relazione $ M^(t)AM=D $ relazione è veriicata . Il dubbio viene al secondo punto che chiede di trovare una matrice N non ortogonale e una matrice D diagonale tale che sussita la relazione $ N^(-1)AN=D $ . A questo punto io mi son detto ...Ma questo non va contro la definizione del teorema spettrale in cui abbiamo bisogno di una matrice di autovettori ortogonale? "E qui fu il primo grande dubbio."
2)
avendo una matrice bilineare simmetrica tale che g(e1,e1)=2 g(e1,e2)=g(e2,e1)=3 g(e2,e2)=1 calcolare g(e1+e2,e1-e2).
io ho risolto con due metodi diversi :
a) ho fatto il prodotto scalate tra il il vettore (1,1) e la matrice e quello che è risultato cioè (5,4) ho rifatto il prodotto scalare tra (1,-1) con il risultato di 1.
b) ho sfruttato la linearità de prodotto scalare in questo modo:
g(e1+e2,e1-e2)=g(e1+e1)-g(e2+e2)=2-1=1
Sono giusti entrambi i metodi? "E qui fu il secondo dubbio".
Vi ringrazio anticipatamente per l vostra collaborazione e del vostro impegno ad aiutare tanti tudenti un po' confusi come me!
mi piacerebbe eliminare alcuni bubbi prima dell' esame ,sperando in un vostro aiuto.
1)
un esercizio chiedeva ...Data una matrice simmetrica A: \begin{Bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 &1 \\ 0 & 1 &1 \end{Bmatrix}
calolare autovalori e basi degli autovettori.Risolvendo Mi sono trovato come autovalori 0 (m.a 1) e 2(m.a2) e i rispettivi autovettori (0,-1,1) (0,1,1) (1,0,0). Fin qui diciamo che sono certo di quel che ho fatto. A questo punto l' esercizio si dirama in due sottoquesiti. Il primo chiede di trovre una matrice M ortogonale e una matrice D diagonale tale che sussista la relazione $ M^(-1) AM=D $ .Io ho pensato di usufruire del teorema spettrale (la definizione insomma) e quindi ho deinito come M la matrice formata dagli autovettori \begin{Bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{Bmatrix}
e come matrice D quella formata dagli autovalori \begin{Bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{Bmatrix}
e facendo le dovute verifiche e applicando per semplicità la relazione $ M^(t)AM=D $ relazione è veriicata . Il dubbio viene al secondo punto che chiede di trovare una matrice N non ortogonale e una matrice D diagonale tale che sussita la relazione $ N^(-1)AN=D $ . A questo punto io mi son detto ...Ma questo non va contro la definizione del teorema spettrale in cui abbiamo bisogno di una matrice di autovettori ortogonale? "E qui fu il primo grande dubbio."
2)
avendo una matrice bilineare simmetrica tale che g(e1,e1)=2 g(e1,e2)=g(e2,e1)=3 g(e2,e2)=1 calcolare g(e1+e2,e1-e2).
io ho risolto con due metodi diversi :
a) ho fatto il prodotto scalate tra il il vettore (1,1) e la matrice e quello che è risultato cioè (5,4) ho rifatto il prodotto scalare tra (1,-1) con il risultato di 1.
b) ho sfruttato la linearità de prodotto scalare in questo modo:
g(e1+e2,e1-e2)=g(e1+e1)-g(e2+e2)=2-1=1
Sono giusti entrambi i metodi? "E qui fu il secondo dubbio".
Vi ringrazio anticipatamente per l vostra collaborazione e del vostro impegno ad aiutare tanti tudenti un po' confusi come me!
Risposte
Grazie per la chiara risposta! Ora mi è chiaro tutto.... Se ha del tempo, potrebbe anche controllare l'altro esercio?
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