[Matrici Simili]
Buongiorno,
Ho un dubbio sulle matrici simili, un estratto da AlgebraLineareForDummies:
Non basterebbe usare "l'altra base" B2 come partenza e arrivo per trovare la matrice A2 associata all'operatore lineare T:V -> V invece di usare la matrice A1 che già conosciamo?
Detto questo ho provato a farlo con il metodo che ho suggerito ma i risultati escono completamente diversi!
Ho un dubbio sulle matrici simili, un estratto da AlgebraLineareForDummies:
Se ho un operatore lineare e una matrice a esso associata rispetto a una base,
come posso trovare la matrice associata rispetto a un’altra base?
Non basterebbe usare "l'altra base" B2 come partenza e arrivo per trovare la matrice A2 associata all'operatore lineare T:V -> V invece di usare la matrice A1 che già conosciamo?
Detto questo ho provato a farlo con il metodo che ho suggerito ma i risultati escono completamente diversi!
Risposte
Ciao!
Ho visto che ti stai riferendo all'esempio di pagina 27 di Algebra Lineare for dummies.
L'esempio dice di considerare l'applicazione lineare:
$T:\mathbb(R)^3\to \mathbb(R)^3$ data da:
$T((x),(y),(z))=((x+y-z),(y+z),(2x))$
E chiede di trovare la matrice associata nella base $\mathcal(B)=\{((1),(1),(0)),((-1),(0),(1)),((1),(1),(1))\}$.
Nel pdf viene utilizzata la matrice di cambio di base $N$ dalla canonica alla base $\mathcal(B)$, vediamo ora come fare "più a mano" applicando il tuo metodo.
Conoscendo l'espressione dell'operatore lineare $T$, cerco la matrice associata che ha $\mathcal(B)$ come base sia di partenza che di arrivo (essendo $T$ un endomorfismo, ovvero con stesso spazio di partenza e arrivo).
Anzitutto vedo dove $T$ mappa i vettori della base:
$T((1),(1),(0))=((2),(1),(2)); \ T((-1),(0),(1))=((-2),(1),(-2)); \ T((1),(1),(1))=((1),(2),(2)).$
Attenzione! I vettori di output sono espressi con le coordinate della base canonica, devo invece capire come esprimere questi vettori nelle coordinate della base $\mathcal(B)$.
Vediamo il primo: cerco coefficienti $a,b,c$ tali per cui:
$((2),(1),(2))=a((1),(1),(0))+b((-1),(0),(1))+c((1),(1),(1))$
ottengo il sistema lineare:
Da cui le soluzioni: $a=-2 ; b=-1; c=3$
Dunque la prima colonna della matrice cercata sarà per l'appunto $((-2),(-1),(3))$.
Ragionando allo stesso modo per gli altri vettori della base $\mathcal(B)$, si ottiene la stessa matrice del pdf
Ho visto che ti stai riferendo all'esempio di pagina 27 di Algebra Lineare for dummies.
L'esempio dice di considerare l'applicazione lineare:
$T:\mathbb(R)^3\to \mathbb(R)^3$ data da:
$T((x),(y),(z))=((x+y-z),(y+z),(2x))$
E chiede di trovare la matrice associata nella base $\mathcal(B)=\{((1),(1),(0)),((-1),(0),(1)),((1),(1),(1))\}$.
Nel pdf viene utilizzata la matrice di cambio di base $N$ dalla canonica alla base $\mathcal(B)$, vediamo ora come fare "più a mano" applicando il tuo metodo.
Conoscendo l'espressione dell'operatore lineare $T$, cerco la matrice associata che ha $\mathcal(B)$ come base sia di partenza che di arrivo (essendo $T$ un endomorfismo, ovvero con stesso spazio di partenza e arrivo).
Anzitutto vedo dove $T$ mappa i vettori della base:
$T((1),(1),(0))=((2),(1),(2)); \ T((-1),(0),(1))=((-2),(1),(-2)); \ T((1),(1),(1))=((1),(2),(2)).$
Attenzione! I vettori di output sono espressi con le coordinate della base canonica, devo invece capire come esprimere questi vettori nelle coordinate della base $\mathcal(B)$.
Vediamo il primo: cerco coefficienti $a,b,c$ tali per cui:
$((2),(1),(2))=a((1),(1),(0))+b((-1),(0),(1))+c((1),(1),(1))$
ottengo il sistema lineare:
$2=a-b+c; $
$1=a+c;$
$2=b+c;$
$1=a+c;$
$2=b+c;$
Da cui le soluzioni: $a=-2 ; b=-1; c=3$
Dunque la prima colonna della matrice cercata sarà per l'appunto $((-2),(-1),(3))$.
Ragionando allo stesso modo per gli altri vettori della base $\mathcal(B)$, si ottiene la stessa matrice del pdf
Sì hai assolutamente ragione, nel pomeriggio ho trovato che il mio svolgimento aveva sia errori di trascrizione che di calcolo, siccome non mi uscivano i conti temevo ci fosse una differenza tra i due metodi non resa esplicita.
Anche con il metodo "classico" esce fuori, grazie mille!
Anche con il metodo "classico" esce fuori, grazie mille!
Sucsa, ho un'altra domanda molto veloce, visto che siamo in tema di AlgebraForDummies, sono un po' confuso con questa frase:
Si trova a pagina 31-32 e parla del polinomio caratteristico.
Prima dice che l'equazione ha esattamente n soluzioni reali e poi si contraddice (con a mio parere una concatenazione inusuale di parole).
L'errore è del testo o non sto capendo il vero significato della frase?
2) Come ben noto, un’equazione di grado n ha esattamente n soluzioni reali
o complesse, ma può ben avere meno di n soluzioni reali.
Si trova a pagina 31-32 e parla del polinomio caratteristico.
Prima dice che l'equazione ha esattamente n soluzioni reali e poi si contraddice (con a mio parere una concatenazione inusuale di parole).
L'errore è del testo o non sto capendo il vero significato della frase?
E' il teorema fondamentale dell'algebra:"Un polinomio di grado n ha esattamente n radici complesse"
Ora, i reali fanno parte dei numeri complessi, pertanto un polinomio potrebbe avere tutte radici reali.
Quando lavori con matrici ad entrate strettamente reali, il polinomio caratteristico potrebbe avere tutte le soluzioni reali oppure no. Se vi sono anche soluzioni complesse allora non potrai nemmeno tentare di diagonalizzare una matrice in $RR$.
Questa è la sostanza.
Ora, i reali fanno parte dei numeri complessi, pertanto un polinomio potrebbe avere tutte radici reali.
Quando lavori con matrici ad entrate strettamente reali, il polinomio caratteristico potrebbe avere tutte le soluzioni reali oppure no. Se vi sono anche soluzioni complesse allora non potrai nemmeno tentare di diagonalizzare una matrice in $RR$.
Questa è la sostanza.
"AlexanderSC":
Sucsa, ho un'altra domanda molto veloce, visto che siamo in tema di AlgebraForDummies, sono un po' confuso con questa frase:
2) Come ben noto, un’equazione di grado n ha esattamente n soluzioni reali
o complesse, ma può ben avere meno di n soluzioni reali.
Si trova a pagina 31-32 e parla del polinomio caratteristico.
Prima dice che l'equazione ha esattamente n soluzioni reali e poi si contraddice (con a mio parere una concatenazione inusuale di parole).
L'errore è del testo o non sto capendo il vero significato della frase?
Come detto da Bokonon, si tratta del Teorema fondamentale dell'algebra: ogni polinomio (non nullo) a coefficienti complessi di grado $n$ ha esattamente $n$ radici complesse, contate con molteplicità (ovvero, se una stessa radice "compare" 2 volte, la conti 2 volte)
Ti faccio 3 esempi:
esempio 1: $x^2-3x+2$
questo polinomio (a coefficienti reali) di grado 2 ha esattamente 2 radici reali: $x=-1, x=-2$
Esempio 2: $x^2-2x+1$
in questo caso si ha che il polinomio è uguale a: $(x-1)^2$, dunque trovo la sola radice $x=1$ che ha molteplicità algebrica 2 (ovvero conta "doppia", in quanto vedo $(x-1)^2=(x-1)\cdot (x-1) $ e ogni fattore $x-1$ mi dà una radice $x=1$).
Anche in questo caso, ho trovato 2 radici.
Esempio 3: $x^4-1$
In questo caso il polinomio (a coefficienti reali) ha due radici reali che sono $x=1$ e $x=-1$, che contano entrambe una sola volta (in quanto $x^4-1=(x^2-1)(x^2+1)=(x-1)(x+1)(x^2+1)$. )
Tuttavia per il teorema fondamentale dell'algebra, le radici complesse devono essere 4, chi sono le altre 2?
Sono le radici date dal fattore $x^2+1$, ovvero $x=i, x=-i$ (dove $i$ indica l'unità immaginaria).
Ci tengo a rimarcare l'importanza del contare le radici con molteplicità, in quanto è una cosa fondamentale quando hai a che fare con autovalori e autovettori.
Grazie mille per le risposte e gli esempi!
Per merito vostro oggi ho appreso un po' di più
Per merito vostro oggi ho appreso un po' di più
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