Matrici simili
Ho trovato questo esercizio su un tema d'esame e non riesco a capirlo, sarei grato se qualcuno mi aiutasse nello svolgimento, grazie
"Sia Mn,n(R) lo spazio delle matrici quadrate di ordine n su R. Trova tutte le matrici simili alla matrice nulla 0 appartenente a Mn,n(R) e alla matrice identità In appartenente a Mn,n(R)."
"Sia Mn,n(R) lo spazio delle matrici quadrate di ordine n su R. Trova tutte le matrici simili alla matrice nulla 0 appartenente a Mn,n(R) e alla matrice identità In appartenente a Mn,n(R)."
Risposte
Ci provo e non ti assicuro nulla!
Una matrice $A$ quadrata è simile alla matrice identica se esiste una matrice quadrata $P$ invertibile tale che $A=P^-1•I•P=(P^-1•I)•P=P^-1•P=I$, cioè la matrice identica è simile solo a se stessa.
Una matrice $B$ è simile alla matrice nulla se esiste una matrice $Q$ quadrata e invertibile tale che
$B=Q^-1•O•Q=(Q^-1•O)•Q=O•Q=O$, cioé la matrice nulla è simile solo a se stessa.
Una matrice $A$ quadrata è simile alla matrice identica se esiste una matrice quadrata $P$ invertibile tale che $A=P^-1•I•P=(P^-1•I)•P=P^-1•P=I$, cioè la matrice identica è simile solo a se stessa.
Una matrice $B$ è simile alla matrice nulla se esiste una matrice $Q$ quadrata e invertibile tale che
$B=Q^-1•O•Q=(Q^-1•O)•Q=O•Q=O$, cioé la matrice nulla è simile solo a se stessa.
Un altro punto di vista per dimostrare che la matrice nulla è simile solo a se stessa è considerare che il rango è un invariante per similitudine(ossia due matrici simili hanno lo stesso rango).
$•$ se una matrice $A$ è simile alla matrice nulla allora ha rango nullo, quindi $A$ è la matrice nulla.
$•$ se una matrice $A$ è simile alla matrice nulla allora ha rango nullo, quindi $A$ è la matrice nulla.
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