Matrici quasi identiche

[ralf86]

Siano $A$, $B$, $C$ e $D$ delle matrici matrici reali 3x3.

1 - se $A$ è simmetrica e quasi uguale alla matrice identica, posso concludere che i tre autovalori di $A$ sono quasi uguali a $1$?

2 - sia data l'identità $B=CD$, se $B$ e $D$ sono quasi uguali alla matrice identica, posso concludere che anche $C$ lo è ?

[Kashaman]

curiosità : che significa che due matrici sono quasi uguali?

[ralf86]

Ciao Kashman, il significato è quello intuitivo: intendo per matrici quasi uguali due matrici che hanno elementi corrispondenti molto "vicini".

[ralf86]

Provo ad autorispondermi:

1 - posso scrivere in questo modo $A = I + A_\varepsilon$, dove $A_\varepsilon$ è una matrice simmetrica che ha elementi tutti molto vicini a zero. Gli autovalori di $A$ sono quelli di $A_\varepsilon$ aumentati di $1$. Mi sembra intuitivo, infine, che gli autovalori di $A_\varepsilon$ siano prossimi a zero, penso al prodotto righe per colonne con un qualsiasi vettore unitario, il vettore risultante non può che essere "corto".

2 - \[\begin{gathered}
B = CD \\
I + {B_\varepsilon } = C\left( {I + {D_\varepsilon }} \right) \\
\left( {I + {B_\varepsilon }} \right){\left( {I + {D_\varepsilon }} \right)^{ - 1}} = C \\
\end{gathered} \]
inoltre vale che $(I + D_\varepsilon)^{- 1} ~= I - D_\varepsilon $, quindi [questo è il passaggio su cui ho più dubbi]
\[\begin{gathered}
\left( {I + {B_\varepsilon }} \right)\left( {I - {D_\varepsilon }} \right) \simeq C \\
I + {B_\varepsilon } - {D_\varepsilon } - {B_\varepsilon }{D_\varepsilon } \simeq C \\
I \simeq C \\
\end{gathered} \]

Quindi la risposta mi sembra affermativa per entrambi i punti

[ralf86]

vi sembra ok?

[ralf86]

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