Matrici particolari $A^T=A^2-I$
Sia $AinM_n(CC)$ tale che $A^T=A^2-I$, determinare l’insieme dei possibili autovalori di $A$.
Io ho preso $v$ autovettore di $A$ rispetto all'autovalore $λ$ e ho dedotto che $A^Tv=A^2v-Iv=λ^2v-v=(λ^2-1)v$ per cui $λ^2-1$ è autovalore di $A^T$ ma poiché $A$ e $A^T$ sono simili allora $λ^2-1$ è autovalore di $A$. Ma allora rieseguendo il ragionamento di prima $(λ^2-1)^2-1$ è autovalore di $A$ e cosi via. Avrei quindi infiniti autovalori di $A$ (a meno che ad esempio $λ=0,-1,(1pmsqrt(5))/2$) . Mi sembra strano che venga una roba del genere, voi che dite?
Io ho preso $v$ autovettore di $A$ rispetto all'autovalore $λ$ e ho dedotto che $A^Tv=A^2v-Iv=λ^2v-v=(λ^2-1)v$ per cui $λ^2-1$ è autovalore di $A^T$ ma poiché $A$ e $A^T$ sono simili allora $λ^2-1$ è autovalore di $A$. Ma allora rieseguendo il ragionamento di prima $(λ^2-1)^2-1$ è autovalore di $A$ e cosi via. Avrei quindi infiniti autovalori di $A$ (a meno che ad esempio $λ=0,-1,(1pmsqrt(5))/2$) . Mi sembra strano che venga una roba del genere, voi che dite?
Risposte
Prova in questo modo: ogni matrice $A$ si può scrivere come $A=(A^T)^T$
Poiché $A^T=A^2-I$, hai che sostituendo:
$A=(A^2-I)^T=(A^2)^T-I^T = (A^T)^2-I$
(dove ho usato che il trasposto è lineare, che commuta con le potenze e che $I^T=I$)
Risostituendo la relazione hai:
$A=(A^T)^2-I=(A^2-I)^2-I = A^4-2A^2 $
(attento a quando svolgi il quadrato di binomio, perché in generale $AB\ne BA$, ma in questo caso si può scrivere direttamente il doppio prodotto, poiché una delle due matrici è l'identità)
Dunque la tua matrice $A$ soddisfa la relazione: $A^4-2A^2-A=0$
Allora il suo polinomio minimo $\mu(t)$ sarà un divisore del polinomio $t^4-2t^2-t$, le cui radici sono:
$t=0,-1, (1\pm\sqrt5)/2$, che dunque sono gli unici possibili autovalori di $A$
Poiché $A^T=A^2-I$, hai che sostituendo:
$A=(A^2-I)^T=(A^2)^T-I^T = (A^T)^2-I$
(dove ho usato che il trasposto è lineare, che commuta con le potenze e che $I^T=I$)
Risostituendo la relazione hai:
$A=(A^T)^2-I=(A^2-I)^2-I = A^4-2A^2 $
(attento a quando svolgi il quadrato di binomio, perché in generale $AB\ne BA$, ma in questo caso si può scrivere direttamente il doppio prodotto, poiché una delle due matrici è l'identità)
Dunque la tua matrice $A$ soddisfa la relazione: $A^4-2A^2-A=0$
Allora il suo polinomio minimo $\mu(t)$ sarà un divisore del polinomio $t^4-2t^2-t$, le cui radici sono:
$t=0,-1, (1\pm\sqrt5)/2$, che dunque sono gli unici possibili autovalori di $A$
"Lebesgue":
Prova in questo modo: ogni matrice $A$ si può scrivere come $A=(A^T)^T$
Poiché $A^T=A^2-I$, hai che sostituendo:
$A=(A^2-I)^T=(A^2)^T-I^T = (A^T)^2-I$
(dove ho usato che il trasposto è lineare, che commuta con le potenze e che $I^T=I$)
Risostituendo la relazione hai:
$A=(A^T)^2-I=(A^2-I)^2-I = A^4-2A^2 $
(attento a quando svolgi il quadrato di binomio, perché in generale $AB\ne BA$, ma in questo caso si può scrivere direttamente il doppio prodotto, poiché una delle due matrici è l'identità)
Dunque la tua matrice $A$ soddisfa la relazione: $A^4-2A^2-A=0$
Allora il suo polinomio minimo $\mu(t)$ sarà un divisore del polinomio $t^4-2t^2-t$, le cui radici sono:
$t=0,-1, (1\pm\sqrt5)/2$, che dunque sono gli unici possibili autovalori di $A$
Ok, grazie mille
Giusto una curiosità: il testo diceva proprio che la matrice $A$ fosse complessa, e non reale?
In ogni caso, brutalmente il ragionamento che avevi fatto tu ti portava agli stessi autovalori:
se $\lambda=0,-1$, come hai detto te, trovavi gli autovalori $0,-1$.
Se $\lambda \ne 0,-1$, allora detto $v$ l'autovettore di $A$ relativo a $\lambda$, hai giustamente provato che anche $\lambda^2 -1$ dev'essere autovalore di $A$.
Essendo $A$ e la sua trasposta simili, a meno di scriverle nella stessa forma di Jordan, hai che $v$ deve essere autovettore sia di $\lambda$ che di $\lambda^2-1$, dunque necessariamente $\lambda=\lambda^2-1$ e trovavi gli altri due possibili autovalori.
Ovviamente, ripeto, questo è un ragionamento molto brutale (ci sono tanti punti da sistemare), però l'idea è proprio questa
In ogni caso, brutalmente il ragionamento che avevi fatto tu ti portava agli stessi autovalori:
se $\lambda=0,-1$, come hai detto te, trovavi gli autovalori $0,-1$.
Se $\lambda \ne 0,-1$, allora detto $v$ l'autovettore di $A$ relativo a $\lambda$, hai giustamente provato che anche $\lambda^2 -1$ dev'essere autovalore di $A$.
Essendo $A$ e la sua trasposta simili, a meno di scriverle nella stessa forma di Jordan, hai che $v$ deve essere autovettore sia di $\lambda$ che di $\lambda^2-1$, dunque necessariamente $\lambda=\lambda^2-1$ e trovavi gli altri due possibili autovalori.
Ovviamente, ripeto, questo è un ragionamento molto brutale (ci sono tanti punti da sistemare), però l'idea è proprio questa
"Lebesgue":
Giusto una curiosità: il testo diceva proprio che la matrice $A$ fosse complessa, e non reale?
In ogni caso, brutalmente il ragionamento che avevi fatto tu ti portava agli stessi autovalori:
se $\lambda=0,-1$, come hai detto te, trovavi gli autovalori $0,-1$.
Se $\lambda \ne 0,-1$, allora detto $v$ l'autovettore di $A$ relativo a $\lambda$, hai giustamente provato che anche $\lambda^2 -1$ dev'essere autovalore di $A$.
Essendo $A$ e la sua trasposta simili, a meno di scriverle nella stessa forma di Jordan, hai che $v$ deve essere autovettore sia di $\lambda$ che di $\lambda^2-1$, dunque necessariamente $\lambda=\lambda^2-1$ e trovavi gli altri due possibili autovalori.
Ovviamente, ripeto, questo è un ragionamento molto brutale (ci sono tanti punti da sistemare), però l'idea è proprio questa
Il testo diceva sia nel caso reale che complesso ma gli autovalori sono tutti reali quindi non credo ci siano problemi, comunque ho capito cosa intendi con il ragionamento brutale effettivamente non avevo un modo preciso per dire che solo quelli erano gli autovalori
"Lebesgue":Qui starei attento, è vero che $A$ e $A^T$ hanno gli stessi autovalori, ma non hanno necessariamente gli stessi autovettori. Cioè se $v$ è autovettore di $A$ non è detto che sia autovettore anche di $A^T$.
Essendo $A$ e la sua trasposta simili, a meno di scriverle nella stessa forma di Jordan, hai che $v$ deve essere autovettore sia di $\lambda$ che di $\lambda^2-1$, dunque necessariamente $\lambda=\lambda^2-1$
Secondo me bisogna proprio procedere come hai indicato prima, cioè elevare al quadrato due volte.
"Martino":
Qui starei attento, è vero che $A$ e $A^T$ hanno gli stessi autovalori, ma non hanno necessariamente gli stessi autovettori. Cioè se $v$ è autovettore di $A$ non è detto che sia autovettore anche di $A^T$.
In questo caso se $v$ è autovettore di $A$ lo è anche per $A^T$ anche se per diversi autovalori, ovvero $λ$ e $λ^2-1$
Sì esatto, ma questo non implica che $lambda$ e $lambda^2-1$ siano uguali. Cioè sappiamo che $A^Tv=(lambda^2-1)v$ e che $Av=lambda v$ ma da questi due fatti non possiamo dedurre che $lambda^2-1=lambda$.
In altre parole, se capita che $v$ è autovettore sia di $A$ che di $A^T$, non è detto che l'autovalore associato sia lo stesso.
In altre parole, se capita che $v$ è autovettore sia di $A$ che di $A^T$, non è detto che l'autovalore associato sia lo stesso.
"Martino":
Cioè sappiamo che $A^Tv=(lambda^2-1)v$ e che $Av=lambda v$ ma da questi due fatti non possiamo dedurre che $lambda^2-1=lambda$.
Si si certo, se invece ragionavamo con le matrici simmetriche e antisimmetriche si poteva dire.
"Martino":
Qui starei attento, è vero che $A$ e $A^T$ hanno gli stessi autovalori, ma non hanno necessariamente gli stessi autovettori. Cioè se $v$ è autovettore di $A$ non è detto che sia autovettore anche di $A^T$.
Secondo me bisogna proprio procedere come hai indicato prima, cioè elevare al quadrato due volte.
@Martino, sì siì, lo so, perciò ho scritto che si tratta di un procedimento "estremamente brutale" e con "diversi punti da sistemare". Sono ben consapevole che in generale sia falso
"andreadel1988":
Il testo diceva sia nel caso reale che complesso ma gli autovalori sono tutti reali quindi non credo ci siano problemi, comunque ho capito cosa intendi con il ragionamento brutale effettivamente non avevo un modo preciso per dire che solo quelli erano gli autovalori
Okok, allora nel caso in cui $A$ sia reale, dal fatto che $A^TA=A A^T$ (cioè $A$ e $A^T$ commutano, aggiunta: la commutativtà è vera in questo caso particolare, per la relazione che lega $A$ e $A^T$), allora $A$ e $A^T$ sono simultaneamente triangolabili, ovvero esiste una matrice $M$ invertibile tale per cui $MAM^(-1)=T_1$ e $MA^TM^(-1)=T_2$, inoltre $T_1=T_2=T$ essendo $A$ e $A^T$ simili.
Dunque, moltiplicando la relazione $A^T=A^2-I$ per $M$ e $M^(-1)$ otteniamo:
$MA^TM^(-1)=MA^2M^(-1)-I \Rightarrow T=T^2-I$ e quindi il ragionamento di prima ha senso.
Nel caso complesso, si dovrebbe verificare che $A$ commuta con la sua trasposta coniugata per giungere alla stessa conclusione (ovvero bisognerebbe verificare che $A$ è una matrice normale)
Tuttavia, quando si va a calcolare $A A^H$ (dove $\cdot^H$ indica appunto l'hermitiana, ovvero la trasposta coniugata) si ottiene che:
$A A^H=A(\bar A^2-I)=A\bar A^2-A $
($\bar A$ indica il coniugato) mentre
$A^HA=(\bar A^2-I)A=\bar A^2 A-A$
e le due espressioni sono uguali solo quando $\bar A^2 A=A\bar A^2$, cosa che non mi sembra sia sempre vera, e dunque bisogna procedere nell'altro modo, ovvero ponendo $A=(A^T)^T$
"Lebesgue":
Okok, allora nel caso in cui $A$ sia reale, dal fatto che $A^TA=A A^T$ (cioè $A$ e $A^T$ commutano)
Ma in questo caso commutano perchè $A^T=A^2-I$ ovvero $A^TA=A^3-A=A A^T$ sennò non è vero sempre.
"andreadel1988":
Ma in questo caso commutano perchè $A^T=A^2-I$ ovvero $A^TA=A^3-A=A A^T$ sennò non è vero sempre.
Sì esatto, la commutatività è data dal fatto che vale quella relazione, altrimenti non è detto.
"Lebesgue":
Sì esatto, la commutatività è data dal fatto che vale quella relazione, altrimenti non è detto.
Ok ok, comunque la prima risposta in assoluto che hai dato quella con $A=(A^T)^T$ va più che bene, le altre credo siano meno precise.
"andreadel1988":
Ok ok, comunque la prima risposta in assoluto che hai dato quella con $A=(A^T)^T$ va più che bene, le altre credo siano meno precise.
Certamente, però mi sembra giusto vedere anche altri possibili ragionamenti (anche se meno precisi), perché potrebbero sempre tornar comodi in futuro
"Lebesgue":
Certamente, però mi sembra giusto vedere anche altri possibili ragionamenti (anche se meno precisi), perché potrebbero sempre tornar comodi in futuro
Si si ovviamente.
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