Matrici ortogonali e basi ortonormali

[GiulioCar93]

buona sera, il mio dubbio è: perchè le colonne ( e quindi le righe ) di una matrice ortogonale sono basi ortonormali ? Io so che una matrice ortogonale H è definita come $H^-1 = H^T$ e so che $H x H^T=In$ quindi quando faccio il prodotto moltiplico elementi uguali però non so come andare avanti

[stefansson]

Come hai scritto te, una matrice $H$ è ortogonale quando $H^T*H=H*H^T=I_n$
(Ovvero quando la sua inversa è esattamente la sua trasposta)
Equivalentemente si può definire una matrice ortogonale come una matrice le cui colonne formano una base ortonormale di $R^n$, e qui sta la tua perplessità (sull'equivalenza dei due enunciati)
Eccone una dimostrazione
(chiamo $v_1,v_2,...,v_n$ i vettori colonna di $H$)
$(a) H^T*H=H*H^T=I_n hArr (b) {v_1,v_2,...,v_n}$ è base ortonormale di $R^n$

$(a) rArr (b)$
Per ipotesi $H^T*H=I_n$
Il generico elemento $a_{i,j}$ della matrice identità sarà (per definizione di prodotto tra matrici) il prodotto scalare tra l'i-esimo vettore riga della matrice $H^T$ (quindi $v_i$) e il j-esimo vettore colonna della matrice $H$ (ossia $v_j$).
Quindi:
$a_{i,j}=$$={(0, if i!=j),(1, if i=j):}$
la relazione scritta sopra ti dice subito che ogni vettore colonna ha norma 1 (è un versore di $R^n$) e sono tutti a due a due ortogonali.

L'implicazione opposta a questo punto è ovvia.

Spero di aver chiarito, ciao!