Matrici, ortogonali, diagonalizzabili
Salve, ho questo problema:
$u\in\mathbb{R}^n$ è un versore (vettore di norma uno), e viene definita la matrice $A=I_n-2u^t u$ (la piccola $t$ significa trasposto). Mi si chiede di:
1) dimostrare che A è ortonormale. E qui è ok.
2) dimostrare che A è diagonalizzabile, e trovare gli autovettori. E qui non è per niente ok.
Come un pazzo ho iniziato calcolando il determinante di $A-\lambda I$, poi mi sono arreso, e lo ho calcolato per $A$ $2$x$2$, e viene qualcosa tipo $1-\lambda^2$, e quindi 2 autovalori diversi, e quindi A è diag. Ma non serve a niente, caspita!!
So che c'è un trucco, qualcosa, perché ci DEVE essere, ma è due anni che non faccio algebra lineare, e non lo vedo...
$u\in\mathbb{R}^n$ è un versore (vettore di norma uno), e viene definita la matrice $A=I_n-2u^t u$ (la piccola $t$ significa trasposto). Mi si chiede di:
1) dimostrare che A è ortonormale. E qui è ok.
2) dimostrare che A è diagonalizzabile, e trovare gli autovettori. E qui non è per niente ok.
Come un pazzo ho iniziato calcolando il determinante di $A-\lambda I$, poi mi sono arreso, e lo ho calcolato per $A$ $2$x$2$, e viene qualcosa tipo $1-\lambda^2$, e quindi 2 autovalori diversi, e quindi A è diag. Ma non serve a niente, caspita!!
So che c'è un trucco, qualcosa, perché ci DEVE essere, ma è due anni che non faccio algebra lineare, e non lo vedo...
Risposte
Sicuro di aver scritto bene il testo del problema? $u^tu$ è uno scalare, quindi l'espressione $I_n-2u^t u$ non ha senso (a meno che non abbiate convenuto, tu e chi ha assegnato l'esercizio, di attribuire a tale espressione un determinato significato).
Si intende $u^t$ vettore colonna, moltiplicato per $u$ vettore riga. Il risultato è una matrice $n$x$n$ di elementi $b_{i,j}=u_i u_j$, poi si prenderà $a_{i,j}=-2b_{i,j}$, a parte per la diagonale, in cui $a_{i,i}=1-2u_{i}^2$.
Di solito le $n$-uple di scalari sono identificate con vettori colonna, ma fa lo stesso 
Comunque, sicuramente $A$ è diagonalizzabile perché è simmetrica (in quanto somma di matrici simmetriche); per calcolare gli autovalori non saprei 
potresti provare a verificare se l'operatore autoaggiunto $F_A$ associato a $A$ rispetto alla base canonica è involutorio (cioè tale che $F_A^2="id"$), ma boh... 
Comunque, sicuramente $A$ è diagonalizzabile perché è simmetrica (in quanto somma di matrici simmetriche); per calcolare gli autovalori non saprei potresti provare a verificare se l'operatore autoaggiunto $F_A$ associato a $A$ rispetto alla base canonica è involutorio (cioè tale che $F_A^2="id"$), ma boh...
Scusami come hai fatto a dimostrare che la matrice A è ortogonale? cmq in generale le matrici ortogonali sui reali ammettono sempre come autovalori solo 1 e -1. Infatti preso il prodotto scalare canonico su ℝ^n, se λ è autovalore per A e v autovettore relativo all'autovalore λ, ===<λv,λv>=λ^2. Da cui λ^2=1. Scusate ma ancora non ho imparato ad usare il linguaggio simbolico...
In verità mi servirebbero gli autovettori e non gli autovalori, questi ultimi in effetti sono 1 e −1, credo (non mi ricordo niente cavolo...). Per provare che A è ortogonale ho mostrato che $A^2=I_n$, e che quindi $A^{−1}=A^t=A$. Non era tanto complicato, per fortuna!
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